Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Консольная балка Примеры решения Балка равного сопротивления Потенциальная энергия деформации Устойчивость упругих систем Метод перемещений Практический инженерный метод расчёта Вынужденные колебания Курсовая работа по сопромату

Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач

Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения 

  Потенциальная энергия деформации при растяжении, кручении и изгибе была рассмотрена нами в главах 2, 3, 5. При изгибе мы не учитываем энергию, возникшую за счёт сдвига.

  В общем случае сопротивления бруса деформированию при нагружении в его поперечных сечениях возникают шесть внутренних силовых факторов:.

 Для бруса длиной из линейно-упругого материала потенциальная энергия определяется формулой

 , (7.1)

где коэффициенты  зависят от формы поперечного сечения. Например, для прямоугольного сечения , для круглого -  для тонкостенной трубки  

 Если стержневая система состоит из нескольких элементов, то необходимо произвести суммирование энергий по числу этих элементов. Энергия растяжения и сдвига, как правило, меньше энергий изгиба и кручения. Вместе с тем возможны случаи (например, внецентренное сжатие), когда энергия растяжения и изгиба одного порядка. Энергия от сдвига в (7.1), сопровождаемая возникновением перерезывающих сил, может быть определена следующим образом: удельная потенциальная энергия чистого сдвига  Следовательно,

  

Используя формулу (5.37) Журавского для касательного напряжения, найдём:

  

где обозначено

  

Принцип возможных перемещений и формула Лагранжа

 Рассмотрим балку (рис. 7.3,а), находящуюся под действием силы Р. Пусть некоторая точка А оси балки совершила конечное действительное перемещение , которое зависит от значения силы , т.е.  Изменим внешнюю силу  на бесконечно малую величину .

  а) б)

 Рис. 7.3

 Тогда действительное перемещение  получит бесконечно малое перемещение  Рассмотрим теперь множество перемещений точки А, которые могли бы быть сообщены точке А в соответствии с наложенными на балку внешними связями, но не совершаются фактически вследствие неизменности внешней силы Р. Назовём возможным перемещением любое бесконечно малое воображаемое перемещение, которое может быть сообщено точке А тела в данный момент в соответствии с наложенными на него связями. В отличие от действительного бесконечно малого перемещения   возможное будем обозначать , где символ  носит название вариации и для него приняты те же правила, что и для дифференциала  Отметим, что это правило в данном случае не относится к нагрузке

1) Ж.Лагранж (1736-1813)-великий французский математик и механик.

 Пусть теперь мы имеем упругое тело произвольной геометрической формы (рис. 7.3,б). На него действует система обобщённых внешних сил   Тогда точка А приложения одной из сил  совершит действительное перемещение, проекцию которого на направление этой силы обозначим . Потенциальная энергия  может быть выражена либо через силы , либо через перемещения

 

 Сообщим точкам приложения сил  возможные перемещения  Элементарная работа внешних сил   Считая, что U представлена через обобщённые перемещения, найдём элементарную работу внутренних сил:

 

 Приравнивая элементарную работу внешних и внутренних сил, получим условие:

  (7.2)

выражающее принцип возможных перемещений Лагранжа. Вследствие произвольности вариаций  в (7.2) находим формулу:

  

выражающую собой теорему Лагранжа: частная производная энергии деформации по перемещению равна силе.

 Для линейно упругого тела зависимость между силами и перемещениями является линейной. Наиболее простым выражением для потенциальной энергии является квадратичная формула

    (7.4)

где Cij - постоянные коэффициенты упругой жёсткости тела.

 На основании (7.3) и (7.4) получаем систему уравнений обобщённого закона Гука:

   (7.5)

которые связывают силы с перемещениями.

В развёрнутом виде закон (7.5) имеет вид

  

где коэффициенты  зависят от размеров тела. Поэтому они не являются упругими постоянными материала.

 На основании (7.5) выражение (7.4) для потенциальной энергии можно записать в виде

  (7.6)

Коэффициенты  в (7.5) симметричны. По теореме Лагранжа (7.3)

 

 Из условия независимости смешанной второй производной от потенциальной энергии  получаем

 Приведём пример применения теоремы Лагранжа к нелинейной упругой системе.

Потенциальная энергия двух растягиваемых стержней (рис. 7.4):

  

 Рис. 7.4

В силу закона Гука  

 Из рис. 7.4 следует перемещение  Так как  то

  

Следовательно, потенциальная энергия:

   

может быть выражена через перемещение . Поскольку условия для использования формулы Лагранжа соблюдены, получаем:

  

что совпадает с формулой (2.87), полученной ранее иным путём (см. кн.1).

Современные проблемы определения перемещений, напряжений и деформаций при расчете инженерных сооружений на прочность, жесткость, надежность, устойчивость и колебания. Использование новых материалов. Прочность при динамической нагрузке. Вопросы прочности при больших деформациях. Определение несущей способности конструкций, ползучесть и релаксация. Прочность материалов при высоких и низких температурах. Прочность материалов при сложном напряженно-деформированном состоянии. Вероятностные методы расчета конструкций. Применение электронно-вычислительных машин. Современные пути развития науки о прочности.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
И ПЛАСТИЧНОСТИ

Теория упругости и пластичности как учебный курс в строительных вузах: его задачи и методы. Связь этой науки с другими дисциплинами расчетно-теоретического цикла. Краткий исторический очерк развития теории упругости, пластичности и ползучести.

Дисциплина "Сопротивление материалов" относится к профессиональ-ному циклу дисциплин и входи в цикл Б.2 кода УЦ ООП "Математический естественнонаучный и общетехнический цикл" в его базовую часть. Для изучения дисциплины "Сопротивление материалов" необходим ряд требований к входным знаниям, умениям и компетенциям студентов.
Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач