Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Консольная балка Примеры решения Балка равного сопротивления Потенциальная энергия деформации Устойчивость упругих систем Метод перемещений Практический инженерный метод расчёта Вынужденные колебания Курсовая работа по сопромату

Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач

Модельные задачи и методы исследования устойчивости упругих систем

 1. Метод Эйлера. Рассмотрим простую модельную задачу, которая поможет выяснить все особенности потери устойчивости. Пусть абсолютно жёсткий стержень (стойка) шарнирно опёрт на нижнем конце и закреплён с помощью упругой горизонтальной пружины на верхнем (рис. 9.10,а). Эта пружина отражает упругие свойства системы при поперечном отклонении. Реакцию пружины представим соотношением :

  (9.3)

где - горизонтальное перемещение верхнего конца стойки. Если переме 104

щение  мало, то нелинейными членами можно пренебречь и принять В противном случае задача принимает геометрически нелинейный характер.

 Нагрузим стойку вертикальной силой Р. Если подействовать на жёсткий стержень поперечной малой возмущающей силой , то он отклонится на некоторый малый угол . Теперь снимем эту силу статически. Если стойка вернётся при заданном значении силы Р в исходное состояние, то она устойчива в смысле Эйлера, если не вернётся, то неустойчива. Пусть имеет место второй случай. Составим уравнение равновесия стойки:

  (9.4)

где  - реакция упругой пружины.

 Из (9.4) следует уравнение

 

откуда либо  (устойчивость), либо  (неустойчивость). Пусть  Тогда в нуль обратится круглая скобка, что позволяет найти критическую силу

  (9.5)

 Полученное значение силы при котором система впервые не возвратилась к исходному состоянию, называется бифуркационной нагрузкой Эйлера. При этом значении силы  происходит нарушение единственности решения задачи , т.е. бифуркация или ветвление решения. Вопрос о том, как будет вести себя стойка при >= остаётся открытым.

 2. Метод Лагранжа. В основу этого метода положено динамическое определение устойчивости состояния равновесия Лагранжа. Для отклонённого состояния стойки, пользуясь принципом Даламбера, имеем

(рис. 9.10,б):

  (9.6)

где - упругая реактивная сила,  - сила инерции, - прогиб, - ускорение, m – масса груза на конце стойки.

 105

 

 а) б)

 Рис. 9.10

 Из (9.6) находим уравнение колебаний системы с сосредоточенной массой m:

  (9.7)

 Полагая , получим характеристическое уравнение:

  (9.8)

где

  (9.9)

Если Р<, то >0,  

  (9.10)

где  - круговая частота колебаний, - начальная фаза, А – амплитуда колебаний. Движение носит периодический характер и потому устойчиво. Если учесть внешнее и внутреннее сопротивление системы, то решение будет иметь вид

 ,

где - параметр, определяющий сопротивление движений. Колебания с ростом времени t затухнут, и система вернётся в своё исходное состояние. Следовательно, исходное состояние равновесия устойчиво.

 Если Р>, то k – действительное число. Решение принимает вид:

   (9.11)

и носит апериодический, т.е. неустойчивый характер. При  имеем . При  происходит переход от устойчивого периодического движения стойки к неустойчивому апериодическому. Это происходит при критической силе

 Таким образом, динамический метод Лагранжа приводит к тому же результату, что и метод Эйлера.

Расчет на жесткость стержня постоянного сечения.

Для стержня постоянного сечения (рис. 2.4) необходимо построить эпюру углов закручивания и из условия жесткости найти искомое значение диаметра стержня d. Материал стержня – сталь, G=80Гпа.

2.2.1. Построение эпюры углов закручивания.

Разобьем стержень на участки AB и BC (рис. 2.5). В пределах каждого участка возьмем произвольные сечения z1 и z2 соответственно.

 Из условия равновесия определим момент в заделке:

 Участок AB (0£z1£l1+ l2):

Участок BC (l1+ l2£z2£ l1+ l2+l3):

 Находим углы закручивания в долях 1/GIp.

На участке АВ:

ввиду наличия заделки в точке В.

Функцией угла закручивания на участке АВ является парабола, вторая производная от которой отрицательна, следовательно, парабола выпуклая.

На участке ВС:

По полученным данным строим эпюру углов закручивания Эj в долях от GIp (рис. 2.5).

Настоящее методическое указание предназначено для студентов, изучающих дисциплину "Метрология, стандартизация и сертификация". Оно дополняет теоретический курс лекций практическими методиками и справочными материалами, необходимыми при выполнении курсовой работы по данной дисциплине.
Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач