Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Консольная балка Примеры решения Балка равного сопротивления Потенциальная энергия деформации Устойчивость упругих систем Метод перемещений Практический инженерный метод расчёта Вынужденные колебания Курсовая работа по сопромату

Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач

Задача Эйлера об устойчивости сжатого стержня 

 Познакомившись с концепцией устойчивости и модельными задачами, мы можем теперь перейти к рассмотрению задач устойчивости упруго сжатого стержня (рис. 9.15).

 

 а) б)

 Рис. 9.15

 Считаем стержень идеально прямым и сжатым центрально приложенными силами Р (рис. 9.15,а). Следуя методу Эйлера, будем считать исходное состояние равновесия упругого стержня устойчивым, если после статического приложения и снятия возмущающей силы при постоянных внешних сжимающих силах Р стержень возвращается к своей исходной прямолинейной форме равновесия. В противном случае состояние равновесия считаем неустойчивым.

 Допустим, что стержень остался в изогнутом состоянии (рис. 9.15,б). Отсечём часть стержня на расстоянии z от начала координат, считая угол поворота сечения  малой величиной, и составим уравнения равновесия:

   (9.20) 

 Изгибающий момент в поперечном сечении, согласно (6.9), равен:

 . (9.21)

Приравнивая выражения моментов (9.20), (9.21), находим:

  (9.22)

Дифференцируя (9.22) по z , получим:

   (9.23)

дифференцируя (9.23) по z , приходим к уравнению изогнутой оси потерявшего устойчивость стержня четвёртого порядка: 

  . (9.24)

Введём обозначение:

   . (9.25)

Тогда уравнения (9.22), (9.24) можно записать в виде

  (9.26)

  (9.27)

Общее решение уравнения (9.26) имеет вид:

  (9.28)

В него входят четыре произвольные постоянные .

 Общее решение уравнения (9.27):

   (9.29)

В него входят четыре произвольные постоянные  .

Производные:

  (9.30)

Используя (9.30), из (9.21), (9.23) находим:

   (9.31)

 Постоянные  находятся из граничных условий. Для шарнирно закреплённого по концам стержня при  и  имеем условия:

  

 Для стержня, защемлённого при  и свободного от закрепления при , должны выполняться условия:

  при ,

  при .

 Если на незакреплённом конце при  действуют внешние момент m и поперечная сила R, то

 

 При любом закреплении концов стержня мы имеем четыре граничных условия (по два на каждом краю), которые при подстановке в них выражений (9.28), (9.29) приводят к системе четырёх однородных алгебраических уравнений вида:

 

или

  (9.32)

 Система уравнений (9.32) имеет отличные от нуля решения  только при условии, что её определитель:

  

откуда, после его раскрытия, находим некоторое числовое значение :

   ,

где - некоторое число. Возводя обе части полученного равенства в квадрат и используя обозначение (9.25), получаем формулу для критического значения силы (нагрузки бифуркации) Эйлера:

 , (9.33)

где - приведённая длина Ясинского, - коэффициент приведения длины стержня к длине шарнирно опёртого по концам стержня.

 Соответствующее критическое напряжение Эйлера:

  (9.34)

где

  - (9.35)

гибкость стержня,

- радиус инерции площади поперечного сечения.

  Формула (9.33) для критической силы сжатой колонны  была получена Эйлером в 1744г. а для сжатого шарнирно опёртого стержня - в 1757г. Во времена Эйлера (1707 – 1783) главными конструкционными материалами были камень и древесина. Их слабое сопротивление нагрузкам заставляло инженеров создавать массивные конструкции и сооружения, для которых вопросы устойчивости не имели первостепенного значения. Поэтому теория устойчивости Эйлера долгое время не находила практического применения. Только с введением стали в проектирование инженерных конструкций с гибкими элементами, вопросы устойчивости получили большое практическое значение.

Часто при решении практических задач необходимо определять моменты инерции сечения относительно осей, различным образом ориентированных в его плоскости. При этом удобно использовать уже известные значения моментов инерции всего сечения (или отдельных составляющих его частей) относительно других осей, приводимых в технической литературе, специальных справочниках и таблицах, а также подсчитываемые по имеющимся формулам для простейших сечений. Поэтому очень важно установить зависимости между моментами инерции одного и того же сечения относительно разных осей.

В самом общем случае переход от любой старой к любой новой системе координат может рассматриваться как два последовательных преобразования старой системы координат:

путем параллельного переноса осей координат в новое положение. Это преобразование может быть осуществлено по формулам

 (5)

  (6)

 (7)

где (zc)i, (yc)i - центральные оси для каждой из составляющих простейших фигур Fi, mi, ni - соответственно расстояния от старых осей   и  до параллельных им новых осей z и y;

путем поворота осей координат относительно начала координат. Чаще всего этот поворот осуществляется на угол a0, на который надо повернуть координатные оси z и y, чтобы они совпали с главными осями u и v.

Это преобразование может быть осуществлено по формулам

  (8)

 (9)


31. Определить величину момента инерции сечения относительно оси z Iz - ? (рис. 11), если d=2 см.

32. Определить величину момента инерции сечения относительно оси z Iz - ? (рис. 12), если a=5 см.

33. Определить величину центробежного момента инерции сечения Izy - ? (рис. 13).

34. Определить величину центробежного момента инерции сечения Izy - ? (рис. 14), если d=4 см.

35. Определить величину момента инерции сечения относительно оси y Izy - ? (рис. 14), если d=4 см.

36. Определить величину центробежного момента инерции сечения  Izy - ? (рис. 15), если a=10 см.

37. Определить величину момента сопротивления сечения Wz - ? (рис. 16), если a=5 см.

38. Определить величину момента сопротивления сечения Wy - ? (рис. 17), если d=10 см.

39. Определить величину момента сопротивления сечения Wy - ? (рис. 18), если a=3 см.

40. Определить величину момента сопротивления сечения Wz - ? (рис. 19), если a=10 см.

41. Определить величину радиуса инерции сечения относительно оси z iz (рис. 16), если a=5 см.

42. Определить величину радиуса инерции сечения относительно оси y iy (рис. 17), если d=10 см.

43. Определить imin для неравнобокого уголка 100´63´10 (см. сортамент [4]).

Расчет и выбор посадок. Качественные показатели современных изделий машиностроения (точность, надежность, долговечность и др.) в значительной мере зависят от правильности выбора посадок, т.е. характера сопряжения деталей и правильности выбора допусков формы и расположения.
Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач