Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Консольная балка Примеры решения Балка равного сопротивления Потенциальная энергия деформации Устойчивость упругих систем Метод перемещений Практический инженерный метод расчёта Вынужденные колебания Курсовая работа по сопромату

Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач

 Устойчивость стержня, сжатого следящей силой

 Рассмотрим задачу о сжатии следящей силой, т.е. силой, которая при выпучивании стержня поворачивается так, что остаётся касательной к изогнутой оси на конце стойки (рис. 9.43). Такая сила может быть создана реактивной струёй ракеты.

 Ввиду малости прогибов считаем, что горизонтальная и вертикальная составляющие следящей силы:

   

 

 а) б) 

 Рис. 9.43 

Ввиду малости прогибов считаем, что горизонтальная и вертикальная составляющие следящей силы:

   

 Общее решение задачи представлено выражением (9.29). Граничные условия задачи имеют вид

  при ;

  при , (9.120)

где

 

 Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.120), получим:

  

 Исключая постоянные  , находим:

  (9.121)

 Определитель этой системы:

   

 Следовательно, система уравнений (9.116) не имеет отличных от нуля решений и потому

 Таким образом, по методу Эйлера сжатый следящей силой стержень не имеет искривлённых форм равновесия. Эту задачу впервые рассмотрел

  А.Пфлюгер (Германия) в 1950 г. и пришёл к выводу, что сжатый следящей силой стержень всегда устойчив.

 Такой вывод оказался неверным, т.к. метод Эйлера и его понятие устойчивости не являются общими и относятся только к задачам с консервативными внешними силами.

 В данной задаче потеря устойчивости проявляется не в переходе системы в смежное равновесное состояние в смысле Эйлера, а в переходе её в режим движения. Поэтому для исследования устойчивости со следящей неконсервативной силой следует применить динамический метод Лагранжа. Предположим, что на конце стержня сосредоточена масса m

(рис. 9.43,б). Тогда при её движении вместе со стержнем возникает сила инерции , где точки над  означают дифференцирование по времени. Для решения задачи воспользуемся принципом Даламбера и уравнением (9.105), которое в силу q = 0 принимает вид:

  (9.122)

где прогиб есть функция z и времени t, т.е.  Для решения задачи воспользуемся методом разделения переменных Фурье, полагая:

  (9.123)

 Подставляя (9.123) в (9.122), получим:

  (9.124)

 Общее решение (9.124) имеет вид:

  (9.125)

Граничные условия задачи:

   при z = 0,

 при z =  (9.121)

 Удовлетворяя решение (9.120) граничным условиям (9.121), получим граничные условия для:

  при  

  при  (9.127)

 Первые три условия очевидны. Последнее поясним подробнее. После подстановки (9.123) в четвёртое условие (9.126) имеем:

  

откуда, разделяя переменные, получим:

  

где - постоянная величина.

Следовательно,

  (9.128)

 Полагая в (9.128) , находим

  (9.129)

для действительных значений  и

  (9.130)

для  мнимых (- действительных) значений .

 Подставляя (9.125) в граничные условия (9.127), находим:

 (9.131)

 Исключая из (9.131)  найдём

  (9.132)

 Приравнивая определитель системы (9.132) к нулю, получим:

  (9.133)

 Пока выражение под радикалом в (9.128) положительно , оба значения  действительны и имеет место устойчивый периодический процесс движения (9.130).

Случай

  (9.134)

отвечает и переходу от устойчивого движения к неустойчивому. Корень уравнения (9.133) нами уже вычислялся:он равен ,

откуда получаем критическое значение следящей силы:

  

при которой сжатый стержень получит динамическую бифуркацию. При этой силе колебательный процесс становится неустойчивым. Примером такого беспорядочного процесса могут служить катастрофы при запуске баллистических ракет.

ПРИМЕР 2: Определить положение центра тяжести неравнобокого уголка 160´100´10 (пренебрегая закруглениями его полок) относительно осей z и y, совпадающих с наружными сторонами контура (рис. 5).

Найденные значения координат сравнить с табличными значениями по ГОСТ 8510-57.

Решение: Пренебрегая загружением полок уголка, разбиваем фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 5. Для первого (1) прямоугольника

Для второго (2) прямоугольника

Координаты центра тяжести сечения определяем по формулам (11) и (12):

По данным сортамента с учетом закруглений координаты центра тяжести равны zc=2,28см; yc=5,23см.

Для проверки правильности вычислений определим статические


моменты относительно центральных осей, которые должны быть равны нулю:

   .

Графическая проверка: точка С должна находиться на отрезке С1С2.

Все разнообразные машины, станки, приборы и механизмы состоят из деталей, имеющих сопрягаемые и несопрягаемые поверхности. Сопрягаемые - это поверхности, по которым детали соединяются в сборочные единицы. Несопрягаемые - это конструктивно необходимые поверхности, не предназначенные для соединения с поверхностями других деталей.
Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач