Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Консольная балка Примеры решения Балка равного сопротивления Потенциальная энергия деформации Устойчивость упругих систем Метод перемещений Практический инженерный метод расчёта Вынужденные колебания Курсовая работа по сопромату

Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач

Понятие о приведенной массе

 Рассмотрим упругую систему, например балку с распределенной массой (рис. 10.15,а). Поставим следующую задачу. Какую массу m0 нужно приложить в некоторой точке В такой же, но невесомой балки

(рис. 10.15,б), чтобы низшие частоты колебаний исходной и упрощенной систем были одинаковы. Точку В назовем точкой приведения массы систе-мы, а массу m0 - приведенной массой.

 

 а) б)

 Рис. 10.15

 197

Если — коэффициент жесткости системы, то ее потенциальная энергия:

   (10.61)

 Подставляя (10.61) в формулу Релея (10.55), получим:

  (10.63) 

 С другой стороны, для системы с одной степенью свободы имеем

  (10.64)

 Сравнивая (10.62) и (10.63), получим:

  (10.65)

 Пример. Определить приведенную массу и частоту собственных колебаний тяжелой балки (рис. 10.16).

 

 Рис. 10.16 

 

 Решение. Примем для амплитуды выражение

 

Тогда, с учётом (10.64) имеем:

 

Перемещение

Поэтому

 

10.7. Устойчивость вращающихся валов

  Рассмотрим вал, вращающийся с угловой скоростью  (рис. 10.17) и несущий сосредоточенные массы  (диски).

 

 Рис. 10.17

 Будем считать, что он идеально сбалансирован и при вращении сохраняет прямолинейную форму. Если скорость вращения невелика, то малые случайные воздействия приводят вал к изгибным колебаниям, которые быстро затухают. В этих условиях прямолинейная форма вала устойчива. При некоторых больших скоростях вращения прямолинейная форма вала перестает быть устойчивой. Получив при этих скоростях вращения прогиб от случайного воздействия, вал уже не возвращается к своему исходному, прямолинейному состоянию. Он теряет устойчивость своей прямолинейной формы. Скорость о, при которой впервые вал не возвращается к своему исходному состоянию при действии случайного воздействия, называется критической угловой скоростью вращающегося вала.

 Предположим, что при действии возмущающих сил в смысле Эйлера, вал отклонился от своей прямолинейной формы и остался в искривленном состоянии. Тогда при его вращательном движении возникают центробежные силы инерции , приложенные к сосредоточенным массам, в каждый момент движения уравновешиваются упругими силами. Поэтому перемещение массы m, можно записать в виде:

  

 Например, для системы с двумя сосредоточенными массами будем иметь:

  (10.66)

 Система (10.66) имеет отличные от нуля решения только в том случае,

если определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю: 

  (10.67)

 В случае системы с n степенями свободы получим выражение (10.20), т.е. критическая угловая скорость вращения в точности совпадает с частотой собственных колебаний вала как балки.

 В частности, для системы с одной степенью свободы имеем:

  (10.68)

 Явлению неустойчивости вращающихся валов можно дать и несколько иное истолкование. Идеально сбалансированных валов не бывает и в них, с самого начала вращения, возникают центробежные силы инерции, которые растут с увеличением . Следовательно, растут и перемещения  

(рис. 10.18,а).

 

 а) б)

 Рис. 10.18

 Здесь имеем явление, аналогичное таковому при эксцентричном сжатии гибкого стержня (рис. 10.18,б).

Пример 3. Определить усилия в стержнях, возникающие при сборке узла А из-за неточности d изготовления элементов системы (устранение технологического зазора d) рис. 6, а.

Дано: E1=E2=E; F1=2F2=2F;  l1=l2=l; d

Рис. 6

 Решение

Статическая сторона задачи. 

 

 

тогда  и  (а)

II. Геометрическая сторона задачи.

После принудительной сборки конструкции шарнир А займет положение А1 (рис. 6, б). Стержни 1 и 2 окажутся растянутыми. В соответствии с этим схема деформированной системы имеет вид, показанный на рис. 6, б.

Решение

Статическая сторона задачи. 

 

 

 

отсюда  (а)

Геометрическая сторона задачи.

Под действием силы Р балка АС опустится и наклонится, заняв положение А1С1 (рис. 5, б).

Исходя из силовой схемы, определяем степень статической неопределимости: S=3-2=1. Следовательно, для определения трех неизвестных сил N1, N2 и N3 требуется одно дополнительное уравнение. Оно составляется из условия совместности деформации стержней по схеме деформированной системы:

  (в)

или 

Физическая сторона задачи. 

По закону Гука имеем:

  

Подставляя это в (в), получаем:

  (с)

IV. Определение неизвестных.

Решая совместно уравнения (с) и (а), находим:

   

В зависимости от назначения соединения конструктивные элементы деталей с сопрягаемыми поверхностями, имеющими одинаковый номинальный размер, должны во время работы механизма либо обеспечить возможность движения деталей друг относительно друга, либо наоборот, сохранить их полную неподвижность относительно друг друга.
Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач