Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Консольная балка Примеры решения Балка равного сопротивления Потенциальная энергия деформации Устойчивость упругих систем Метод перемещений Практический инженерный метод расчёта Вынужденные колебания Курсовая работа по сопромату

Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач

Продольные колебания стержня

 Перейдем теперь к изучению колебаний упругих систем с непрерывно распределенной массой, т.е. к системам с бесконечным числом степеней свободы. Простейшим примером такой системы является однородный стержень (рис. 10.22), в котором возбуждены продольные колебания, например, ударом по его концу.

 Пусть плотность материала. Тогда масса элемента стержня длиной dz равна:

  (10.85)

 Осевое перемещение сечения:

 

является функцией двух аргументов – координаты произвольного сечения z и времени t.

 

 Рис. 10.22

Используя принцип Даламбера, напишем уравнение движения элемента стержня:

 

или, с учётом (10.85),

   (10.86)

 Поскольку

   (10.87)

то, исключив с помощью (10.87) из (10.86) усилие N, находим уравнение:

  (10.88)

где

  (10.89) 

 Уравнение (10.88) называется волновым уравнением. Оно описывает динамические процессы в стержне, такие как распространение волн и колебания. Величина С называется скоростью распространения упругой волны. Для стали С = 4900 м/с, для алюминия С = 5100 м/с.

 Решение уравнения (10.88) ищем в виде:

  (10.90)

Подставляя (10.90) в (10.88), получим:

  (10.91)

или, после разделения переменных:

 

откуда для функций T(t), Z(z) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:

  (10.92)

  (10.93)

Общий интеграл уравнения (10.92):

  (10.94)

откуда видно, что  это круговая частота свободных колебаний.

 Общий интеграл уравнения (10.93) имеет вид:

  (10.95)

Постоянные с1, с2 находятся из граничных условий на концах стержня.

 Пусть, например, стержень закреплен неподвижно на нижнем конце и свободен на верхнем (рис.10.23,а).

 а) б)

 Рис. 10.23

При Z = 0 имеем W = 0, следовательно, Z = 0, а при z =  

Тогда получаем:

  (10.96)

 Если с1 = 0, то колебания отсутствуют. Если  то

и тогда:

  (10.97)

 Стержень имеет бесконечное множество частот собственных колебаний. Низшая частота или частота основного тона имеет место при

n = 1:

  (10.98)

 Рассмотрим теперь колебания стержня, у которого один конец защемлён, а другой несет груз массы М (рис. 10.23,б). На закрепленном конце при Z = 0 по-прежнему имеем Z = 0, из (10.95) следует с2 = 0.

 На свободном конце с прикрепленной массой М на основании прин 208

 ципа Даламбера имеем:

  (10.99)

или с учетом (10.40), (10.92):

   (10.100)

 Подставляя (10.95) при с2 = 0 в граничное условие (10.100), находим:

  (10.101)

 Если с1 = 0, никаких колебаний нет. Если  то колебания есть. Для удовлетворения условия (10.102) следует приравнять нулю квадратную скобку. В результате находим:

   (10.102)

где через  обозначена масса стержня. Решение уравнения (10.102) можно найти графически (рис. 10.24). Для этого необходимо найти точки пересечения двух функций:

   (10.103) 

При малых частотах, когда  малая величина, уравнение (10.102) упрощается:

   (10.104)

откуда следует:

  (10.105)

Этот результат соответствует задаче, когда массой стержня m можно пренебречь по сравнению с массой Мгруза.

  Рис. 10.24

 Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в разложении  в уравнении (10.102) два слагаемых:

 

Тогда получим:

 

откуда

  (10.106)

 При больших значениях  гипербола проходит близко к оси абсцисс, а точка пересечения с тангенсоидой мало отличается от  Следовательно,  

Основные положения. Связи необходимые и дополнительные.

Статически неопределимыми называются брусья и системы, внут­ренние усилия в которых нельзя определить при помощи одних лишь уравнений равновесия.

В машиностроении и строительных конструкциях такие системы на­ходят широкое применение.

В одних случаях статическая неопределимость является сущностью самой конструкции.

Примерами таких конструкций могут быть: армированные уголками стойки (рис. 1, а); панель крыла самолета, состоящая из обшивки 1 с продольными ребрами 2 (рис. 1, б); составной цилиндр, полученный пу­тем напряженной посадки двух труб из различных материалов (рис. 1, в).

В других случаях, с целью повышения жесткости и надежности сис­темы, вводятся дополнительные связи сверх тех минимально необходи­мых, которые обеспечивают ее кинематическую неизменяемость. Нало­жение на систему дополнительных связей превращает ее в статически неопределимую. Напомним, что кинематическая неизменяемость пло­ской системы обеспечивается тремя, а пространственной – шестью свя­зями.

 Все статически неопределенные конструкции имеют дополнитель­ные или, так называемые, «лишние» связи в виде закреплений стержней или других элементов. Лишними такие связи называются только потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конст­рукции и ее геометрической неизменяемости, хотя постановка их дикту­ется условиями эксплуатации. По условиям прочности и жесткости кон­струкции лишние связи могут оказаться необходимыми.


 

 а) б) в) 

 

Рис. 2

На рис. 2 приведены схемы 3-х плоских систем с «лишними» связями: а – стержневой подвески; б – стержня, закрепленного обоими концами; в – стержневого кронштейна. В схеме, показанной на рис. 2, в, вся система состоит из упругих звеньев. Подсчет числа наложенных связей произво­дится в этом случае следующим образом. Каждый стержень связан с опорной поверхностью двумя связями. Всего таких связей 8. Шарнир, соединяющий концы стержней, снимает связи, ограничивающие относи­тельный или взаимный их поворот. При соединении двух стержней од­ним шарниром снимается одна связь, трех стержней – две связи, четырех – три и т.д. В данном случае снимаются три связи. Следовательно, всех связей, наложенных на эту систему оказывается пять, две из которых мо­гут считаться «лишними».

В зависимости от назначения соединения конструктивные элементы деталей с сопрягаемыми поверхностями, имеющими одинаковый номинальный размер, должны во время работы механизма либо обеспечить возможность движения деталей друг относительно друга, либо наоборот, сохранить их полную неподвижность относительно друг друга.
Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач