Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Консольная балка Примеры решения Балка равного сопротивления Потенциальная энергия деформации Устойчивость упругих систем Метод перемещений Практический инженерный метод расчёта Вынужденные колебания Курсовая работа по сопромату

Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач

Теория сложного напряжённо-деформированного состояния (НДС) твёрдого тела

Напряжённое и деформированное состояние частицы тела.

 Теория НДС ставит своей задачей определение внутренних напряжений, деформаций и перемещений в различных точках деформируемого твёрдого тела произвольной формы и размеров. Отнесём тело к координатным осям x, y, z и выделим мысленно из него материальную частицу в виде параллелепипеда или кубика размерами dx, dy, dz (рис. 11.1)

 а) б)

 Рис. 11.1

Действия отброшенной части тела заменим векторами – напряжениями   и разложим их на составляющие по координатным осям.

  (11.1)

где единичные векторы, направленные вдоль координатных осей x, y, z;  нормальные напряжения,  касательные напряжения. У касательных напряжений первый индекс указывает на направление его действия, второй индекс – на нормаль к площадке, на которой оно действует. У нормальных напряжений индекс соответствует одновременно как направлению, так и нормали к площадке их действия. На невидимых на рис. 11.1 гранях частицы действуют такие же, но противоположно направленные напряжения.

 Совокупность указанных напряжений полностью характеризует напряжённое состояние частицы тела. Эту совокупность записывают в виде квадратной матрицы

  (11.2)

и называют тензором напряжений Коши. Система напряжений, приложенных к частице тела, должна удовлетворять условиям равновесия. Первые три условия в проекциях на оси x, y, z дают тождества, т.к. на противоположных гранях мы считаем напряжения равными по величине. Остаётся проверить, обращаются ли в нуль суммы моментов всех сил относительно координатных осей. Составим условие равновесия моментов относительно оси х:

  

откуда следует  Аналогично можно составить два уравнения равновесия моментов относительно осей y и z. В результате получим соотношения:

  (11.3)

 

которые называют законом парности касательных напряжений: на двух взаимно перепендикулярных площадках составляющие касательных напря-жений, ортогональные их общему ребру, равны по величине и направлены оба либо к ребру, либо от него. На основании этого закона тензор-матрица напряжений  является симметричной относительно главной диагонали, состоящей из нормальных напряжений.

 Напряжение

   (11.4)

называют средним напряжением. Тензор напряжений, для которого , называется тензором–девиатором напряжений. В общем случае тензор напряжений можно разложить на сумму двух тензоров:

 

Первый из них

  (11.5)

носит название шарового тензора напряжений, а второй:

  (11.6)

тензора–девиатора или просто девиатора напряжений.

 Иногда компоненты девиатора напряжений обозначают:

 

 Шаровой тензор характеризует напряженное состояние всестороннего растяжения – сжатия частицы тела, а девиатор – напряженное состояние её формоизменения.

 На каждую частицу тела кроме напряжений действуют объёмные силы:

 ,

где Rx, Ry, Rz – проекции этих сил на координатные оси. Каждая вектор- сила  действует на единицу объёма.

 На поверхности тела F на каждую единицу её площади могут действовать распределённые силы:

   ,

где qx, qy, qz – проекции этих сил.

  Если последние действуют на малых площадках контакта  поверхности тела, то их, согласно принципу смягчения граничных условий Сен- Венана, заменяют главными вектором и моментом  всех сил, действующих на этих малых площадках:

   

где радиус – вектор, проведённый из заданной точки (центра приведения сил) на  до текущей силы  

 В результате действия на тело внешних сил  температуры Т каждая точка В совершает перемещение  в новое положение В/. Это

перемещение характеризуется направленным отрезком , т.е. вектором перемещения:

   ,

где u, v, w – проекции этого перемещения на координатные оси.

 Перемещения  характеризуют деформацию тела в целом. Например, прогибы точек оси балки V и поворот поперечных сечений, проходящих через эти же точки, характеризуют деформацию балки в целом при её изгибе.

 Деформация тела складывается из деформации её материальных (физических) частиц, каждая из которых испытывает удлинения  в направлении её рёбер и искажения прямых углов:

  

между её гранями в каждой из координатных плоскостей (рис. 11.2).

 Величины

 

называют относительными удлинениями или деформациями частиц тела. Половины сдвигов обозначают:

 .

 

 Совокупность шести компонентов деформации полностью характеризует деформированное состояние частицы тела. Эту совокупность запишем в виде квадратной матрицы:

  (11.7)

и назовем тензором деформаций Коши.

 

 а) б)

 Рис. 11.2

 Величину

   (11.8)

называют средней деформацией.

  Если для рассматриваемого тензора деформация , то он называется тензором-девиатором или просто девиатором деформации.

 В общем случае  тензор (11.7) можно разложить на сумму двух тензоров:

 

 Первый из них:

  (11.9)

носит название шарового тензора деформации и описывает объёмную деформацию всестороннего растяжения – сжатия.

  Второй тензор:

  (10.10)

представляет собой тензор-девиатор и характеризует деформацию изменения формы частиц тела.

Физическая сторона задачи.

Крайние стержни 1 длиннее среднего стержня 2; кроме того, у край­них стержней коэффициент линейного расширения больше, чем у сред­него. По этой причине точка А у первых стержней опустилась бы ниже, чем точка А у второго стержня, если бы они деформировались отдельно. Но так как они в точке А связаны шарниром, то возникает силовое взаи­модействие боковых и среднего стержней. Боковые стержни, удлиняясь за счет термического воздействия, будут одновременно укорачиваться в результате действия возникающего усилия, средний же стержень будет удлиняться как за счет термического расширения, так и за счет механи­ческого действия на него крайних стержней.

Следовательно

 c)

 

За счет ввинчивания стержня 3 точки А и В сблизятся на величину , а за счет растяжения этого стержня и стяжки они разойдутся на величину  (рис. 8). Тогда, на основании схемы деформированной системы, ус­ловие совместности деформаций будет иметь вид:

 (с) 

Согласно закону Гука.

 ;  ;  (d)

Здесь l1=l2 по условию, a l2 и l3 можно определить из равенства проекций стержней на горизонтальную и вертикальную оси (рис. 7, а):

 

Подставляя (d) в (с), получим: (е)

В зависимости от назначения соединения конструктивные элементы деталей с сопрягаемыми поверхностями, имеющими одинаковый номинальный размер, должны во время работы механизма либо обеспечить возможность движения деталей друг относительно друга, либо наоборот, сохранить их полную неподвижность относительно друг друга.
Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач