Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Консольная балка Примеры решения Балка равного сопротивления Потенциальная энергия деформации Устойчивость упругих систем Метод перемещений Практический инженерный метод расчёта Вынужденные колебания Курсовая работа по сопромату

Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач

Определение напряжений на произвольно ориентированной площадке

  Рассечём частицу тела около произвольной точки А (рис. 11.11) наклонной плоскостью, направление единичной нормали

  

к которой определено направляющими косинусами lх ,ly ,lz 

(рис. 11.11,а). В результате мы получили фигуру четырёхугольник, или тетраэдр. При уменьшении расстояния AN = h до нуля наклонная плоскость пройдёт через точку А. Обозначим площадь наклонной грани через dF, а площади координатных граней dFx, dFy, dFz. Вектор  на произвольно ориентированной площадке с нормалью и площадью dF разложим на составляющие:

  , (11.28)

где проекции напряжения на координатные оси.

 Проецируя все силы, действующие на тетраэдр, последовательно на оси x, y, z и сокращая на dF, получим:

  

 

 а) б)

 Рис. 11.11

Очевидно, что площади координатных граней:

 

Поэтому после сокращения на dF, получаем формулы

   (11.29)

называемые формулами Коши.

  Таким образом, проекции вектора напряжений на произвольно

ориентированной площадке с направляющими косинусами  выражается через шесть компонент напряжённого состояния, совокупность которых образует тензор напряжений. При помощи формул Коши (11.29) можно найти величину полного напряжения:

 . (11.30)

 Вектор напряжений  может быть разложен также на нормальную   и касательную составляющие:

   

где t – единичный вектор касательной. Тогда:

 .

 Выразим нормальное напряжение  через проекции  

вектора :

  (11.31)

и заменим эти проекции согласно (11.29). Получим формулу: 

 . (11.32)

Если единичный касательный вектор

  ,

то

  (11.33)

где направляющие косинусы вектора t, определяющие направление действия касательного напряжения .

 Подставляя в (11.33) вместо  их выражения (11.29), получаем:

  (11.34)

 В частном случае плоской задачи имеем (рис. 11.12):

 

 

Из (11.32), (11.34) находим: 

(11.35)

 

 Рис. 11.12

 

где использованы соотношения

  .

11.5. Главные оси и главные напряжения в плоских задачах

 Рассмотрим напряжённое состояние, характеризуемое тензором напряжений:

 

 Если , то напряжённое состояние называется плоским. Если , то напряжённое состояние соответствует плоской деформации. Найдём экстремальные значения нормального напряжения  для плоских задач.

 Дифференцируя выражение (11.35) для  по , и приравниваем полученный результат к нулю: 

   

откуда получаем:

  . (11.36)

 Из (11.36) находим два значения угла  и 

(рис. 11.13), определяющие два направления и две площадки, называемые главными.

 

 Рис. 11.13

Экстремальные значения напряжений  и  называются главными нормальными напряжениями. На главных площадках касательные напряжения отсутствуют. Поэтому третья площадка, на которой действует нормальное напряжение , будет также главной. Главным будет напряжение .

 Так как

  

то, с учётом (11.36) из (11.35), получаем значения главных нормальных напряжений:

  (11.37)

 

 Обычно принято главные напряжения нумеровать так, чтобы .

  В частном случае чистого сдвига  (рис. 11.4).

 

 Рис. 11.14

Из (11.37) получаем:

 В случае растяжения напряжениями  и чистого сдвига напряжениями имеем:

 

 Если частица отнесена к главным осям (рис. 11.15), то формулы (11.35) принимают вид

  (11.38)

 

Из (11.38) видно, что максимальное касательное напряжение по модулю возникает при т.е. на площадках, наклонённых к главным осям под углом . В этом случае

  (11.39)

 Рис. 11.15

 Как видно из (11.39), на площадке, где действует , нормальное напряжение   отлично от нуля и равно полусумме нормальных напряжений .

Раскрытие статистической неопределенности.

Операции по определению неизвестных силовых факторов в статически неопределимых системах принято называть раскрытием статической неопределимости. Производятся они следующим образом. В

отсюда  (а) 

Составляем уравнения равновесия узла B (рис. 7, с).

отсюда 

Тогда степень статической неопределенности подсчитывается так:

 S=3-2=1

Геометрическая сторона задачи.

При повороте гайки на угол  стержень 3, состоящий из двух частей, ввинтится в гайку на величину

Рис. 8


Степень статической неопределимости S=3-2=1. Исходя из схемы деформированного состояния, составляем условие совместимости деформаций:

  (в)

Строго говоря, удлинение Dl2 получится, если из точки В описать дугу радиуса l2, однако, в силу малости деформаций, Dl2 можно получить, опуская перпендикуляр из точки А на новое направление стержня l2.

В собранном состоянии угол между стержнями l2 будет меньше, чем 2j. Однако, в силу малости деформаций, изменение угла j отразится на 5 или 6 знаке косинуса, что несущественно.

В зависимости от назначения соединения конструктивные элементы деталей с сопрягаемыми поверхностями, имеющими одинаковый номинальный размер, должны во время работы механизма либо обеспечить возможность движения деталей друг относительно друга, либо наоборот, сохранить их полную неподвижность относительно друг друга.
Курсовая работа по сопромату. Примеры решения задач