Математика примеры решения задач

 

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов

ОПРЕДЕЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Правила вычисления двойных интегралов

Вычислить , где область  ограничена линиями .

Дифференциальные уравнения (ДУ)

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения .

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

 Пример . Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Числовые ряды. Сумма ряда. Действия над сходящимися рядами. Необходимый признак сходимости.

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

Степенные ряды

Две задачи математического анализа

Неопределенный интеграл

Методы интегрирования Метод замены переменной (способ подстановки) 

Интегрирование по формулам

Интегрирование по формулам. Способ подстановки Цель занятия – усвоить шестую группу формул;  овладеть методом замены переменной; научиться брать интегралы, содержащие квадратный трехчлен.

Интегрирование по частям Цель занятия – научиться пользоваться формулой  и применять ее к каждому из рассмотренных ниже классов функций.

Интегрирование рациональных дробей Цель занятия – научиться разлагать рациональные дроби на простейшие, научиться интегрировать простейшие рациональные дроби.

Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций Цель занятия - научиться брать интегралы вида  , где R- рациональная функция относительно .

Несобственный интеграл 1-го рода Пример. Исследовать сходимость интеграла .

СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Формула Ньютона - Лейбница

КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Используя определение, вычислить интеграл или установить его расходимость. .

Исследовать сходимость интеграла. . ьРешение. Интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода, подынтегральная функция положительна при любом . Кроме того,  при .

Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость. .

Установить, собственным или несобственным является интеграл; если он несобственный, то исследовать его сходимость.

Задача . Вычислить .

Неопределенный интеграл Таблица основных неопределенных интегралов

Основные методы интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам (если это возможно), называется непосредственным интегрированием.

Методом интегрирования по частям называется нахождение интеграла по формуле 

где   функции, имеющие непрерывные производные.

Интегрирование рациональных функций Найти интеграл

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными  и над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать  где знак рациональной функции.

Определенный интеграл и его приложения. несобственные интегралы Определенный интеграл как предел интегральной суммы и его геометрический смысл

Основные методы интегрирования Согласно формуле Ньютона-Лейбница  при вычислении определенного интеграла надо сначала найти первообразную  или неопределенный интеграл а затем вычислить разность  значений первообразной, поэтому таблица неопределенных интегралов, указанная в пункте 1.3. справедлива и для определенных интегралов.

Приложения определенного интеграла Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями    

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями  (одной волной),  вокруг оси

Несобственные интегралы Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных функций называются собственными.

Контрольная работа на тему «Определенный интеграл и его приложения»

Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется соотношение вида:  

Дифференциальные уравнения I порядка

Уравнения с разделяющимися переменными. Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.

Однородные уравнения

Линейные уравнения

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения Условие Липшица

Частные случаи уравнений II порядка Рассмотрим частные случаи уравнений II порядка, допускающих «понижение» порядка, т.е. случаи, когда уравнение II порядка приводится к интегрированию двух уравнений первого порядка.

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение ,

 

Математика, физика, электротехника примеры решения задач Информатика