Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Найти частные производные функции Интегрирование функций нескольких переменных Записать уравнение касательной плоскости к поверхности

Контрольная по математике Дифференциальные уравнения, интеграл, пределы Типовые задачи

Дифференцирование сложной ФНП

Сложная ФНП, как и сложная функция одного переменного, есть суперпозиция двух или нескольких функций. Например, сложная функция , определенная на множестве , понимается как суперпозиция "внешней" функции  и "внутренних" функций , , определенных на множестве . При этом множество значений

совпадает с областью определения функции . Переменные ,  называем независимыми; ,  – промежуточными.

Число независимых и промежуточных переменных может быть различным.

Рассмотрим теорему о дифференцируемости сложной функции , . Ее доказательство и формула производной сложной функции может быть распространена на другие
виды сложной ФНП.

ТЕОРЕМА. Если

функция ,   – дифференцируемая в точке , , т.е. , причем ;

функция ,  – дифференцируемая в точке , , т.е. , причем ;

функция , , где

  – дифференцируемая в точке , где , ,
т.е. , где , причем ,

то сложная функция  дифференцируема
в точке .

Доказательство. Пусть , . Тогда
последовательно имеем

, где , , т.е. ;

аналогично .

Используя условие теоремы, можно записать

, поскольку

.

Здесь  в силу дифференцируемости функций ,  и  по условиям теоремы.

Заметим, что число

  –

производная рассматриваемой сложной функции  в точке .

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым
переменным; 2) установить число независимых переменных (что
соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения
каждой частной производной сложной функции).

Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции с любой наперед заданной точностью. Погрешность может быть установлена с помощью оценки остаточного члена.

Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

Диффенцирование неявно заданной функции

Криволинейные интегралы Понятие криволинейных интегралов первого и второго рода. Вычисление криволинейных интегралов. Физический смысл криволинейного интеграла первого рода. Вычисление массы кривой. Механический смысл криволинейного инте-грала второго рода. Вычисление работы силы. Формула Гри-на.
Некоторые механические приложения интеграла ФНП