Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Найти частные производные функции Интегрирование функций нескольких переменных Записать уравнение касательной плоскости к поверхности

Контрольная по математике Дифференциальные уравнения, интеграл, пределы Типовые задачи

Диффенцирование неявно заданной функции

ПРИМЕР 2. Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки .

Решение. Можно применить формулы для  и , но в данном случае проще продифференцировать тождество, соответствующее уравнению, сначала по  (), а затем по ().
Получим 1) , откуда  и ; аналогично

2)   и отсюда .

Для нахождения производной  дифференцируем еще раз по  первое тождество (), получаем

  или , отсюда  и .

Аналогично вычисляются другие частные производные второго и большего порядка.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти , если .

2. Найти приближенное представление неявно заданной функции уравнением   в окрестности точки  до второго
порядка включительно.

3. Для функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки , найти .

4. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки  до членов первого порядка включительно функцию ,
заданную неявно уравнением  в
окрестности точки .

Ответы. 1. .

2. .

3. , , , , .

4. .

Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП Исследовать на локальный экстремум .

Абсолютный экстремум ФНП Допустимая точка  называется точкой абсолютного минимума (или максимума) ФНП ,  в задаче (*), если
выполняется условие:    или  .

Понятие интеграла ФНП Для построения интеграла ФНП  по фигуре , , используется следующая процедура построения интегральной суммы и переход к пределу. В зависимости от числа независимых переменных функции, размерности и меры фигуры интеграл  имеет различное представление, интерпретацию и способ счета.

. Неопределённый интеграл. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной; интегрирование по частям; интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных выражений
Некоторые механические приложения интеграла ФНП