Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Найти частные производные функции Интегрирование функций нескольких переменных Записать уравнение касательной плоскости к поверхности

Контрольная по математике Дифференциальные уравнения, интеграл, пределы Типовые задачи

Некоторые механические приложения интеграла ФНП

1. Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

,

если подынтегральная функция , , задает

плотность  линейная распределения поверхностная ()

массы по  объемная ()

в зависимости от размерности фигуры, , ,  
на .

2. Статические моменты и центр масс фигуры

а) Пусть   – плоская фигура на плоскости ,  –
поверхностная плотность распределения массы по . Тогда статический момент "пластины"  относительно некоторой прямой на плоскости  есть интеграл , где  –
расстояние каждой точки "пластины"  до прямой.

В частности, статические моменты "пластины"  относительно оси  и оси  запишутся соответственно

.

Центр масс "пластины"  есть точка  на плоскости  такая, что если в ней поместить массу всей пластины, то ее статистический момент относительно любой оси равен статистическому моменту пластины относительно той же оси, т.е.

,

и отсюда формулы для нахождения координат центра тяжести
пластины :

.

б) Пусть   – фигура ("тело" ) в ;  – объемная плотность распределения массы в теле. Тогда статистические моменты тела относительно всякой плоскости находятся с помощью интеграла

,

где  – расстояние от точки   до плоскости; в частности,
интегралы

определяют статистические моменты "тела"  соответственно до плоскостей , , .

Как и для пластины , координаты центра тяжести тела  
находятся по формулам

, т.е.

.

в) Для материальной дуги  и материальной поверхности  с соответствующими функциями  – плотности (линейная и поверхностная) распределения массы по  и  статические моменты и координаты центра тяжести находятся по аналогичным формулам.

Заметим, что центр тяжести дуги, поверхности не всегда расположен на дуге или на поверхности.

Момент инерции фигуры можно вычислять относительно плоскостей, осей координат и начала координат:

,

здесь  есть квадрат расстояния точки , , до
соответствующего объекта. Например, если  или ,  – плотность распределения массы по фигуре , то

 –

моменты инерции материальной фигуры  относительно соответствующей координатной плоскости;

 –

моменты инерции материальной фигуры относительно соответствующей оси координат;

  – момент инерции материальной
фигуры   относительно начала координат.

Геометрические свойства интеграла ФНП Возможное геометрическое представление интегральной суммы  функции  на , а затем и интеграла  определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

 

Вычисление интеграла  рассмотрим подробно в зависимости от  и .

Для подынтегральной функции  определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет
первообразную на .

Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Интегральная сумма. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. Несобственные интегралы. Геометрические приложения определённого интеграла (вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел и длин дуг в декартовых координатах).
Некоторые механические приложения интеграла ФНП