Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Найти частные производные функции Интегрирование функций нескольких переменных Записать уравнение касательной плоскости к поверхности

Контрольная по математике Дифференциальные уравнения, интеграл, пределы Типовые задачи

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

1) Вычисление  проводится по формуле Ньютона – Лейбница, если известна какая-либо первообразная подынтегральной функции.

Если для вычисления первообразной применяется "интегрирование по частям", то эту операцию можно проводить сразу и для
определенного интеграла:

.

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Замена переменной интегрирования в определенном интеграле проводится соответственно следующей теореме.

Теорема (о замене переменной в определенном интеграле)

Пусть функция  определена и непрерывна на ;
функция ,  удовлетворяет условиям:

1)   ; причем , ;

2)   ;

3)   на , т.е. функция  обратима на  – существует обратная функция , :  на ;  на .

Тогда

,

где  – какая-либо первообразная для подынтегральной функции .

Заметим, что если  на  при выполнении остальных условий и , , то пределы интегрирования по  следует поменять местами.

Доказательство. Рассмотрим интеграл  –
интеграл с переменным верхним пределом – сложная функция от

,

т.е. действительно функция  – первообразная для , поэтому

.

Вычислить интеграл .

Вычисление площади плоской фигуры Площадь фигуры в декартовых координатах Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и . Площадь плоской фигуры в полярных координатах

Вычисление объема тела

Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Интегральная сумма. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. Несобственные интегралы. Геометрические приложения определённого интеграла (вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел и длин дуг в декартовых координатах).
Некоторые механические приложения интеграла ФНП