Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Найти частные производные функции Интегрирование функций нескольких переменных Записать уравнение касательной плоскости к поверхности

Контрольная по математике Дифференциальные уравнения, интеграл, пределы Типовые задачи

Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Объем цилиндрического тела

ПРИМЕР 6. Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями   и  и ограниченного поверхностью  и плоскостью .

Решение. Тело имеет основание – область  на плоскости  
(см. рисунок), причем   Цилиндрическая поверхность

с образующей, параллельной оси , и направляющей по границе  образует боковую поверхность тела; сверху тело ограничено частью плоскости . Поэтому объем тела
(цилиндрического тела) вычисляем следующим образом:

.

Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной   и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Вычисление площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .

Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Интегральная сумма. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. Несобственные интегралы. Геометрические приложения определённого интеграла (вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел и длин дуг в декартовых координатах).
Некоторые механические приложения интеграла ФНП