Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Типовые задачи Вычислить объем цилиндрического тела Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом Вычислить повторный интеграл Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме Метод Эйлера Масса фигуры

Контрольная по математике Дифференциальные уравнения, интеграл, пределы Типовые задачи

Метод Эйлера

Аналогично однородным линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами для СОЛДУ , где
  – const, можно попытаться найти решение в виде , где
 – постоянный вектор,  – постоянное число. Подставляя эту вектор-функцию в СОЛДУ, получаем  или , т.е.  должно быть собственным значением (сокр. с.з.), а   – соответствующим ему собственным вектором (сокр. с.в.) матрицы .

ПРИМЕР 11. Решить СОЛДУ .

Решение. Для матрицы  собственные значения – корни характеристического уравнения

.

Для  с.в. матрицы – вектор   – находим, решая систему линейных алгебраических уравнений

. Придавая некоторое произвольное значение одной переменной, найдем значение другой: например, . Итак,  – решение рассматриваемой СОЛДУ.

Для  аналогично получаем , например, и соответственно  – решение СОЛДУ. Количество решений точно равно порядку СДУ, они линейно независимы, поскольку определитель, составленный из этих решений, не обращается в ноль, поэтому общее решение СОЛДУ имеет вид .

Для получения ФСР СОЛДУ -го порядка нужно знать точно "" линейно независимых решений; в нашем случае количество решений СОЛДУ п/к определяется количеством и структурой корней характеристического уравнения

.  (15)

Возможны следующие ситуации.

1. Корни уравнения (15) действительные и попарно различные . Находим  решений , , . Определитель Вронского для этих решений , причем

, поскольку собственные векторы для различных попарно собственных значений матрицы линейно независимы. Итак, общее решение СОЛДУ п/к  в рассматриваемом случае запишем

,

где фундаментальная матрица строится из столбцов .

Метод интегрируемых комбинаций  – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые. Теорема о структуре общего решения СОЛДУ

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Пример Решить СДУ 

 

Решить СОЛДУ . Решить СОЛДУ  .

Двойной интеграл Понятие двойного интеграла. Сведение к повторному. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление площадей с помощью двойного интеграла. Физический смысл двойного
интегрирование по частям