Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Дифференциалы высших порядков Дифференцирование сложной ФНП Найти частные производные функции Интегрирование функций нескольких переменных Записать уравнение касательной плоскости к поверхности

Контрольная по математике Дифференциальные уравнения, интеграл, пределы Типовые задачи

Частные производные ФНП

ПРИМЕР 3. Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

Решение. По условию , , . Значение

.

Поэтому ; аналогично  и .

Касательная плоскость к полусфере  в точке  описывается уравнением  или  и схематично представлена на рисунке.

Для ФНП   – понятие частной производной по ,  вводится аналогично. При этом если  – функция
аргумента , то ее, в свою очередь, можно дифференцировать по ,  и получать частные производные второго порядка . Аналогично вводятся производные более высокого порядка.

ПРИМЕР 4. Найдите все частные производные второго порядка функции .

Решение. Сначала вычисляем частные производные первого порядка . Затем каждую из этих производных дифференцируем еще раз по переменной  и по переменной . Получаем  – частная производная второго порядка функции  по переменной   дважды, читается "дэ два   по дэ  дважды";

 –

"смешанная" частная производная второго порядка; читается "дэ два   по дэ  и по дэ ";

;

замечаем, что здесь значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования; .

Наконец, .

Справедливо УТВЕРЖДЕНИЕ:

если для функции  существуют производные , , ,  в точке  и в некоторой ее окрестности  и при этом "смешанные" производные  и  непрерывны в точке , то , т.е. значение смешанных производных функции к точке   НЕ ЗАВИСИТ от порядка дифференцирования.

Доказательство теоремы подробно изложено, например, в [1].

Заметим, что в случае невыполнения условия непрерывности смешанные производные могут не совпадать.

Утверждения, аналогичные рассмотренному, могут быть доказаны и для смешанных производных любого порядка и для функции большего чем два числа переменных.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Какой угол образует с осью  касательная прямая к кривой ,  в точке ?

2. Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

3. Найти ,  для .

4. Для функции  убедиться в равенстве ее смешанных производных второго порядка  и  в области их
существования.

5. Для функции  найти  и . Убедиться, что значения этих производных не зависят от порядка дифференцирования.

Ответы. 1. ; кривая – пересечение верхней части двуполостного гиперболоида и плоскости .

2. .

3. .

4. ; достаточное
условие равенства смешанных производных ФНП – их непрерывность по совокупности переменных – выполнено.

5. ; замечаем, что последовательное вычисление производной  несколько проще.

Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при , теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при  и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть использованы для ФНП.

Показать, что функция   непрерывна в точке   по каждой координате  и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Пусть , , . Частные производные первого порядка функции  вводятся соответственно соотношениям

 

Некоторые свойства интеграла ФНП

Двойной интеграл Понятие двойного интеграла. Сведение к повторному. Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление площадей с помощью двойного интеграла. Физический смысл двойного интеграла. Вычисление массы неоднородной пластинки.
Некоторые механические приложения интеграла ФНП