Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Алгебра формулы, уравнения, системы

Алгебра формулы, уравнения, системы

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента

Иррациональные неравенства

 

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, как было показано выше в правиле 4 преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство, − тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство уже верным не является.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.

Неравенства вида

Если x лежит в ОДЗ: f ( x ) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x , являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g ( x ) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x , которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:

Пример 1

Решите неравенство

Показать решение

Сразу перейдём к равносильной системе:

Ответ.

Как уже отмечалось, одним из наиболее распространенных методов решения уравнений (в том числе и показательных) является метод замены переменной, позволяющий свести то или иное уравнение к алгебраическому (как правило, квадратному) уравнению.
Математический анализ Предел функции