Кратные и криволинейные интегралы

Двойной интеграл в декартовых координатах Пусть область D ограничена линией r = r( ) и лучами = и = , где и r – полярные координаты точки на плоскости, связанные с ее декартовыми координатами x и y

Геометрические приложения двойного интеграла

a) с помощью двойного интеграла вычисляют площади плоских фигур: – в декартовых координатах,

  – в полярных координатах;

б) двойной интеграл применяют для вычисления объемов тел

Вычислить двойной интеграл по области D, где D – треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(1,1) и В(0,2) dvd66.ru

Тройной интеграл в декартовых координатах

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями .

Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

Криволинейный интеграл Вычисление криволинейного интеграла производят по формулам

Вычислить , где L – первая арка циклоиды от точки А(0,0) до точки В(2 а,0).

Разложение функций в ряд Тейлора

Интегрирование сложных функций

Определенный интеграл

Если функция определена на отрезке и монотонна, то она интегрируема на нем. Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

Формула Ньютона – Лейбница

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Объем тела вращения

Длина дуги кривой.

Первообразная Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто требуется решить обратную задачу, то  есть найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию.

Совокупность всех первообразных функции f ( x ) на промежутке D называют неопределенным интегралом функции f ( x ) и обозначают символом :

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнения первого порядка Функциональное уравнение F(x,y,y ) = 0 или y = f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Однородные уравнения

Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение второго порядка

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, то есть уравнения вида y +py +qy = f(x), где p и q – постоянные, а f(x) 0, записывается в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, а – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Найти частное решение уравнения , если .

Элементы операционного исчисления

Преобразованием Лапласа, или изображением функции f(t), t R, называется функция F(p) комплексной переменной p, определяемая следующим равенством: . Таблица оригиналов и изображений

Найти оригинал изображения .

Решить дифференциальное уравнение

Геометрический смысл производной

Дифференциал функции Правила дифференцирования

Исследование функций при помощи производных Возрастание и убывание функции Теорема Лагранжа. Это соотношение называется формулой конечных приращений Лагранжа. Воспользовавшись ей, легко доказать, что если производная функции на отрезке [ a ; b ] равна 0, то эта функция постоянна на этом отрезке. Если производная функции f на отрезке [ a ; b ] равна k , то f – линейная функция.

Достаточные условия экстремума. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке x 0. Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева направо, то x 0 – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку слева направо, то x 0 – точка максимума.

Выпуклость функции и точки перегиба Достаточные условия наличия точки перегиба

Построение графиков функций

Мы изучили графики элементарных функций. При построении графиков функций более сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана.

    Найти область определения и область значений функции. Выяснить, является ли функция четной (нечетной). Выяснить, является ли функция периодической. Найти точку пересечения графика функции с осью ординат. Найти нули функции и промежутки знакопостоянства. Вычислить производную функции и определить точки, в которых могут существовать экстремумы. Найти промежутки монотонности функции. Определить экстремумы функции. Вычислить вторую производную Определить точки перегиба. Найти промежутки выпуклости функции. Найти асимптоты графика. Найти значения функции в нескольких контрольных точках. Построить эскиз графика функции.

Построение кривых, заданных параметрически

Применение пределов в экономических расчетах

Сложные проценты В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов Потоки платежей. Финансовая рента Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами.

Производная, правила и формулы дифференцирования На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢ = f ¢ (x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .

Найти производную сложной функции y= , u=x 4 +1.

Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Нахождение производительности труда

Экстремум функции Функция y=f ( x ) называется возрастающей ( убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ) ( f (x 1 ) > f (x 2 )). Пример . Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Частные производные. Метод наименьших квадратов В экономике рассматриваются функции не только от двух, но и большего числа независимых переменных. Например, уровень рентабельности R зависит от прибыли П на реализованную продукцию, величин основных ( a ) и оборотных ( b ) фондов, R = П/( a+b ), т.е. R является функцией трех независимых переменных R = f (П, a , b ). Частными производными второго порядка функции z = f ( x , y ) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x , то вторые производные обозначаются символами .

Пример. Исследовать функцию z = y 4 - 2xy 2 + x 2 + 2y + y 2 на экстремум. Отыскание уравнения прямой по эмпирическим данным называется выравниванием по прямой, а отыскание уравнения параболы - выравниванием по параболе. В экономических расчетах могут встретиться также и другие функции. Довольно часто встречаются эмпирические формулы, выражающие обратно пропорциональную зависимость, графически изображаемую гиперболой. Тогда говорят о выравнивании по гиперболе и т.д.

Основные методы интегрирования Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме. Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Последнее свойство называется теоремой о среднем значении. Пример. Найти ò tg x dx .

Использование интегралов в экономических расчетах Пример. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией f( t) = 3/(3t +1) + 4.

Пусть сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени d t = f(t), тогда наращенная сумма находится как S = P ex d t dt , а современная величина платежа P = S ex (- d t dt).

Дифференциальные уравнения Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой функции y нам удалось получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл. Пример. Найти общее решение уравнения y ¢ = 3x.

Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине: ,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q ). Решить уравнение y ¢¢¢ = cos x. Решить уравнение y ¢¢ - y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k 2 - 1 = 0, корни которого k 1 = 1, k 2 = -1 действительны и различны.

Разностные уравнения На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании например величины банковского вклада. Эта величина является переменной Y x , представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону при целочисленных значениях аргумента x . Пусть сумма Y o положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозначает число лет с момента помещения вклада ( x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении x лет через Y x . Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента x , его функции Y x и разностей различных порядков этой функции D Y x , D 2 Y x, D 3 Y x,.... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:j ( x , Y x , D Y x , D 2 Y x D 3 Y x, D n Y x ) = 0, (10.1)

Производная функции y = f ( x ) может также обозначаться одним из следующих способов: В физике производную по времени t часто обозначают точкой:

Математика, физика, электротехника примеры решения задач Информатика