Ремонт и реконструкция дачных домов в подмосковье: виды.
Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Производная сложной функции Интеграл Фурье Замена переменных в двойных интегралах Двойной интеграл Вычислить тройной интеграл

Математика Примеры решения задач

Элементы линейной алгебры

Матрицы и определители. Основные понятия

Определение 1.1.

Прямоугольная таблица чисел, состоящая из  строк и  столбцов называется матрицей порядка .

Числа  () называются элементами матрицы (здесь первый индекс – номер строки а второй – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент). Векторный потенциал магнитного поля Пусть требуется рассчитать магнитное  поле в однородной среде (m=const) , в которой протекает электрический ток, плотность которого задана в виде некоторой функции координат . Для определения векторов поля и необходимо решить систему уравнений

Определение 2.1.

Матрица, полученная из матрицы А заменой строк на столбцы, называется транспонированной матрицей и обозначается .

Замечание 1. В определении 1.2 матрица  имеет размер (n х m).

Определение 1.3

Матрица размера  называется квадратной матрицей  порядка

.

Замечание 2. Диагональ  называется главной диагональю квадратной матрицы, а диагональ  – побочной диагональю.

Примеры 1.1.

а)  (размер _1_х_4_) – однострочная матрица или

матрица-строка;

б)  (размер _3_х_1_) – столбцовая матрица или

матрица-столбец;

в) С=(-2) (размер _1_х_1_).

Пример 1.2.

.

С каждой квадратной матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Обозначение:

.

Определение 1.4.

Определителем матрицы  первого порядка, называется сам элемент :

 .

Определение 1.5.

Определителем матрицы  второго порядка, называется число . (1.1)

Определение 1.6.

Определителем матрицы  третьего порядка, называется число

. (1.2)

Равенство (1.2) вычисляется по правилу Саррюса (часто его называют правилом треугольника):

а (+) б (–)

Замечание 3. Для определителя матрицы A употребляют также следующие обозначения:

, , .

Примеры 1.3.

Вычислить определители:

1) ;

2);

3) ;

4) .

Определение 1.7.

Минором элемента  квадратной матрицы -го порядка называется определитель матрицы ()-го порядка, остающийся после вычеркивания -й строки и -го столбца данной матрицы -го порядка (то есть строки и столбца на пересечении которых стоит элемент ).

Обозначение: .

(Минор – это число или матрица?)

Определение 1.8.

Алгебраическим дополнением элемента . называется его минор, взятый со знаком , где  – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент

. (1.3).

Пусть задана матрица A размером 4х4:

,тогда ,

Заметим, что , если  - четное число,

, если - нечетное.

Учитывая это, для правильной расстановки знаков перед минорами в алгебраических дополнениях удобна таблица:

Теорема 1.1 (разложения).

Определитель матрицы  порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

 (1.4)

– разложение по -й строке.

Доказательство.

Пусть, тогда  (1.5).

Докажем, что имеют место следующие равенства:

,  (1.6)

  (1.7)

  (1.8)

Чтобы доказать (1.6) достаточно записать правую часть формулы (1.5) в виде

.

Величины, стоящие в скобках являются алгебраическими дополнениями матрицы  порядка элементов , , , т.е.

.

Равенства (1.7) и (1.8) доказываются аналогично.

Свойства определителей Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).

Действия с матрицами Две матрицы одинакового порядка называются равными, если равны все их соответствующие элементы. Две неравные квадратные матрицы одинакового размера могут иметь одинаковые определители.

Свойства умножения матриц

Ранг матрицы Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных   строк, и  столбцов матрицы, называется минором -го порядка этой матрицы.

Система линейных уравнений (СЛУ)

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 1. Трехмерное пространство R3. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно-независимые системы векторов. Базис. 2. Скалярное произведение в R3 и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису. 3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраиче-ские дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение.
Ряды Фурье в комплексной форме