Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Производная сложной функции Интеграл Фурье Замена переменных в двойных интегралах Двойной интеграл Вычислить тройной интеграл

Математика Примеры решения задач

Аналитическая геометрия

ТЕМА: Прямая на плоскости

Определение 10.3.

Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение  (неявный вид), которому удовлетворяют координаты  любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Замечание 3.

Уравнение  называется алгебраическим, если

, где , причем  - порядок уравнения.

Примеры 10.2.

а)  - алгебраическое уравнение 1-го порядка.

б)  - алгебраическое уравнение 2-го порядка.

в)  - не является алгебраическим уравнением.

Самым простым уравнением 1-й степени является уравнение прямой на плоскости.

10 10 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Постановка задачи.

Дано: , .

Найти: уравнение прямой , проходящей через точку и . (см. рис.)

Назовем  - нормальный вектор.

А) Выберем на  произвольную точку . Найдем координаты . Т.к. , то  

(10.3)

- уравнение , отвечающее всем требованиям определения (10.3).

Б) Пусть , тогда , т.е.  и условие определения (1) не выполняются.

Следовательно, уравнение (10.3) – уравнение прямой по точке и нормальному вектору.

20 Общее уравнение прямой

Из уравнения (10.3) с помощью элементарных преобразований получим: ,

(10.4)

- общее уравнение прямой.

Частные случаи уравнения (10.4):

1) , 2) , 3)

4) , 5)

30 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть , , причем если

, то ;

, то ;

, то ;

 при .

Разрешим общее уравнение прямой (10.4) относительно :   . Пусть , тогда

(10.5)

,

где  - угловой коэффициент прямой,  - отрезок, который отсекает данная прямая на оси .

Замечание 4. Если , то  - прямая проходит через начало координат; если , то  - семейство прямых, параллельных оси .

40 Векторное, параметрическое и канонические уравнения прямой

Определение 10. 2

Всякий ненулевой вектор  параллельный прямой  называется направляющим вектором этой прямой. ().

Пусть точка , тогда произвольная точка  лишь при условии, когда вектор  коллинеарен . Это означает, что:

(10.6)

- векторное уравнение прямой.

С другой стороны, всякая точка , для которой выполняется уравнение (10.6) принадлежит  в силу определения произведения вектора на число. Таким образом, точка , тогда и только тогда, когда выполняется условие (10.6).

Если обозначить радиус-вектора точек ,  через  и , соответственно, то , тогда:

(10.6’)

.

Если , , , то (10.6) в координатах запишется:

(10.7)

- параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через точку   в направлении .

Исключая из уравнений (10.7) параметр , получаем:

(10.8)

- каноническое уравнение прямой.

Уравнение (10.8) необходимо воспринимать как пропорцию: если , то это прямая, параллельная оси , проходящая через точку .

Замечание 5.

Приведем уравнение (10.8) к общему знаменателю:

   - общее уравнение прямой.

В задачах  часто обозначают .

Если  - нормальный вектор, то  - направляющий вектор.

Вместе с каноническим уравнением (10.6) используется уравнение прямой, проходящей через две точки: если , , то .

Можно в качестве направляющего вектора принять , тогда:

(10.9)

- уравнение прямой, проходящей через две точки  и .

Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

Уравнение прямой в отрезках

Преобразование прямоугольных координат на плоскости

Пример Уравнение окружности  привести к каноническому виду.

Уравнение эллипса , привести к каноническому виду.

Введение в математический анализ 9. Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Пре-дел. Верхние и нижние пределы множеств. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функции, имеющих предел.
Ряды Фурье в комплексной форме