Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Производная сложной функции Интеграл Фурье Замена переменных в двойных интегралах Двойной интеграл Вычислить тройной интеграл

Математика Примеры решения задач

Уравнение прямой в пространстве

Поскольку пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой, то (14.10), причем  (14.11).

Система уравнений (14.10) с условием (14.11) называется общим уравнением прямой в пространстве. Данная система линейных неоднородных уравнений совместна и имеет общее решение следующего вида:

(14.12)

,

где  – частное решение (14.10),  – фундаментальная система решений соответствующей системы линейных однородных уравнений.

Геометрически (14.12) означает:

Пусть точка . Любая точка  получается прибавлением к радиус-вектору точки  некоторого вектора, коллинеарного  - направляющего вектора прямой.

Уравнение (14.12) можно переписать в виде  или

, (14.13)

 – векторно-параметрическое уравнение прямой  или

 (14.14)

– параметрические уравнения прямой в пространстве.

Исключая параметр , получим:

(14.15)

– канонические уравнения прямой в пространстве.

Здесь равенства (14.15) следует воспринимать как пропорцию.

Пример 14.3.

Пусть прямая задана каноническими уравнениями  (*).

Тогда уравнения (*) равносильны системе: , .

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки   и , то  – направляющий вектор, тогда

(14.16)

– уравнение , проходящей через 2 точки.

Утверждение 14.6.

Если прямая , задана как пересечение двух плоскостей системой (14.10), то вектор  (14.17)

– является направляющим вектором , т.е. .

50 Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть ; .

 и  либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.

. В случае если  или пересекаются, существует плоскость, которой прямые принадлежат. Поэтому выполняется условие:

. (14.18)

Утверждение 14.7.

Прямые  и  скрещиваются тогда и только тогда, когда

. (14.19)

Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.

Если прямые параллельны, то возникает задача нахождения расстояния между ними:

Плоскость, содержащая параллельные прямые, имеет вектор нормали: , .

(14.20)

.

Замечание:

A) , т.е. .

B) , т.е. .

Если прямые скрещиваются, то расстояние между ними равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах , т.е.

(14.21)

.

Построение гиперболы При построении гиперболы необходимо построить прямоугольник со сторонами  и   и провести диагонали, которые и являются асимптотами (см. рис.). ,  - вершины гиперболы,  - действительная полуось,  - мнимая полуось,  - центр гиперболы.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, называемой директрисой и точки, называемой фокусом.

Поверхности и линии в пространстве Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты   любой точки данной поверхности и только они.

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве Найти угол между прямой и плоскостью.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной 17. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса). 18. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование.
Ряды Фурье в комплексной форме