Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Производная сложной функции Интеграл Фурье Замена переменных в двойных интегралах Двойной интеграл Вычислить тройной интеграл

Математика Примеры решения задач

Математический анализ

Элементы теории множеств

Логические символы

В математике понятия множества первично (не определяется).

Синонимы: совокупность, система, набор, семейство и т.п.

Обозначения: A,B,X,… .

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами или точками.

Обозначения: x, y, α, β,… .

Обозначения с помощью логической символики

1)  (из того, что  следует, что )

2)  (α и β эквивалентны, (то есть   и )).

Пример 16.1.

Предложение α: два вектора перпендикулярны.

Предложение β: скалярное произведение двух векторов равно нулю.

3)  

(для любого элемента x из множества X имеет место предложение α)

 – квантор всеобщности.

4)  

(существует элемент x из множества X, для которого имеет место предложение)

 – квантор существования.

5)  – отрицание предложения .

Определение 16.4.

Y подмножество X, если в Y нет элементов, не принадлежащих X или:

(X содержит Y).

Определение 16.5.

X=Y, если множества состоят из одних и тех же элементов:

6)  – пустое множество. Не содержит ни одного элемента.

16.2. Операции над множествами

Определение 16.6.

Множество, каждый элемент которого является элементом множества A или B, называется объединением множеств A и B:

 (логическое сложение).

Определение 16.7.

Множество, каждый элемент которого является элементом множества A и B, называется пересечением множеств A и B:

 (логическое умножение).

Определение 16.8.

Множество, каждый элемент которого является элементом множества A и не является элементом множества B, называется разностью множеств

A и B.

.

Свойства множеств

10 ,  – коммутативность;

20 а)   – ассоциативность;

 б)

30 а) ; б)

40 а)

б)  – дистрибутивность;

Числовые множества

Числовые множества – множества, объектами которых являются числа.

Пример 16.2.

1) ; 2) ; 3) Q; 4) R;

5) ;

6) .

16.3 Окрестности точки х0 как особый вид множества

Пусть x0 ,

тогда  - окрестностью х0 называется интервал:

Число  называется радиусом окрестности.

Заметим: ,

где  – проколотая окрестность точки x0

Очевидно,

Введем понятие бесконечно удаленных точек.

Пусть задано сколь угодно большое число M>0.

Определение 16.9.

Окрестностью элемента + называется множество тех точек x, для которых x>M или:

.

Определение 16.10.

Окрестностью элемента - называется множество тех точек x, для которых x<-M или:

.

Определение 16.11.

Окрестностью элемента  называется множество тех точек x, для которых |x|>M или:

.

Сфера Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки , называемой центром, называется сферой.

Двуполостный гиперболоид Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

Ограниченные и неограниченные множества

Пример Показать, что последовательность  не имеет предела. Действительно, пусть а – предел xn.

Число е Рассмотрим последовательность {xn} с общим членом .

Дифференциальное исчисление функции одной переменной 17. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса). 18. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование.
Ряды Фурье в комплексной форме