Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Скачать семейные дела торрент. Производная сложной функции Интеграл Фурье Замена переменных в двойных интегралах Двойной интеграл Вычислить тройной интеграл

Математика Примеры решения задач

Раскрытие неопределенностей

а) Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 23.5 (первое правило Лопиталя).

Пусть функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Пусть  в окрестности точки .

Тогда, если существует  (конечный или бесконечный), то и существует, причем справедлива формула:

. (23.3)

Доказательство.

Пусть  – произвольная последовательность и . Доопределим функции   и  в точке , . Тогда  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и по условию .

По теореме Коши на интервале

,

то есть:

.

Рассмотрим предел при . Тогда . Т.к. существует предел справа, то и существует предел слева и:

.

Т.к.  – произвольная последовательность, то

.

Замечание 7. Правило Лопиталя – это правило сравнения скоростей.

Замечание 8.

При необходимости правило Лопиталя применяется несколько раз.

Замечание 9. Теорема остается верной при   .

Доказательство.

.

Пример 23.2.

Найти предел .

.

б) Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 23.6 (второе правило Лопиталя).

Пусть функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .

Пусть  в окрестности точки  и существует предел (конечный или бесконечный), тогда существует предел

. (23.3’)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 23.5 (доказать самостоятельно).

Пример 23.3.

Найти предел .

.

Пример 23.4.

При вычислении предела  правило Лопиталя применить нельзя, поскольку предел не существует.

в) Раскрытие неопределенностей других видов

Часто встречаются неопределенности следующих видов:

.

Все они сводятся к изученным выше двум неопределенностям путем алгебраических преобразований.

Рассмотрим некоторые из них.

Пример 23.5.

1) , где  т.е. имеем .

Можно записать:  т.е. рассматривать предел:

.

2) , то есть имеем

.

3)  , где , то есть имеем .

Пример 23.6.

Найти предел .

.

Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков Признак монотонности функций

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке  в точке .

Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

Непрерывность функции двух переменных Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.  или .

Частные производные Пусть функция  определена в окрестности точки . Зададим переменной   в точке  приращение , оставляя  неизменным, т.е. перейдем к точке , принадлежащей области  (области определения функции).

Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необхо-димые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.
Ряды Фурье в комплексной форме