Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Производная сложной функции Интеграл Фурье Замена переменных в двойных интегралах Двойной интеграл Вычислить тройной интеграл

Математика Примеры решения задач

РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.

Ряды Фурье в комплексной форме

Пусть  – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье. Но если функция задана на конечном интервале , то для нее можно построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.

Для этого рассматривают вспомогательную функцию  периода , значения которой на интервале  совпадают со значениями функции   (рис. 6).

 


 y четное y 

   

 

 

 производная 

 -3 -2 -  2 3 x х

 

 нечетное 

 

 Рис. 6 Рис. 7

Если для функции  выполняется условие теоремы Дирихле, то ее можно представить соответствующим рядом Фурье. Этот ряд на интервале  во всех точках непрерывности функции будет иметь своей суммой .

Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только в интервале . В этом случае мы можем сначала продолжить по какому-либо закону фукнцию на интервал , а затем продолжить на всю числовую прямую периодически с периодом . Удобнее всего продолжить функцию на интервал  четным или нечетным образом (рис. 7). В первом случае ряд Фурье будет содержать только косинусы и свободный член. Во втором случае ряд Фурье будет содержать только синусы.

Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье непериодической функции.

1. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке  уравнением .

Решение. Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количеством способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.

 y

 1/2 

 

 -3 -2 -1 0 1  2 3 4 5 6 7 8 x

 Рис. 8

А. Доопределим функцию  на отрезке  четным образом (рис. 8). 

Имеем .

;

  0

 .

Еще раз интегрируем по частям:

 0

.

Итак,

.

Б. Доопределим функцию  на отрезке  нечетным образом (рис. 9).

 y

 1/2 

 

 -3 -2 -1 0 1 2  3 4 5 6 x

 

 Рис. 9

 0

 0 

.

Итак, .

.

Неявные функции, условие их существования. Дифференцируемость неявных функций

Частные производные и дифференциалы высших порядков Частные производные по переменным  и в точке  от функций  и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции .

Ряды Фурье для функции с периодом  и 

Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале  формулой:  

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой  

Неопределенный интеграл Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственной интегрирование по частям и подстановкой. Интегрирование рациональных функций путем разложения на про-стейшие дроби.
Ряды Фурье в комплексной форме