Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Производная сложной функции Интеграл Фурье Замена переменных в двойных интегралах Двойной интеграл Вычислить тройной интеграл

Математика Примеры решения задач

Практикум по теме «Двойной интеграл»

 

Имеем на плоскости хОу область D, ограниченную контуром D и функцию z = f(x,y)0, которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры,

восстановленные из всех точек контура D. Вычисление объема такого бруса методом интегральной суммы приводит к понятию двойного интеграла.

V = lim   f()si = f(x,y) dx dy при n (1)

Опр. Двойным интегралом от функции  f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков - si = xiyi , а f() - высоту каждого элемента бруса.

Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a  x  b , c  y  d ) , тогда

f(x,y) dx dy = dxf(x,y) dy

При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается, как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a  x  b , y1(x) yy2(x) )

 Это область правильная в направлении Оу . (Коридор вдоль Оу.)

f(x,y) dx dy = {f(x,y) dy } dx

3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c   y  d, x1(y)xx2(y) )

 Это область правильная в направлении Оx. (Коридор вдоль Ох.)

f(x,y) dx dy  = {f(x,y) dx } dy

4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.

 

Пример 1. Изменить порядок интегрирования  J = .

Пределы внешнего интеграла задают коридор || Oy. Надо перейти к коридору || Ox.

Решение.

1.  D: 0  x 4 , x2/2 y 2x - Пределы интеграла означают неравенства.

2. D: x = 0, x = 4, y = x2/2, y = 2x - Переход к равенствам.

 Они определяют линии, ограничивающие область D. 

 Находим их точки пересечения из решения систем уравнений

 (4;8) ,(4;8) , (0;0)

 Обозначим коридор || Oy пунктиром и строим кривые

 y = x2/2, y = 2x , пересекающие коридор. Это перегородки.

4.  Обозначим новый коридор || Oх пунктиром, 0 y  8 . В уравнениях перегородок

 перейдем к обратным функциям : y = 2x  x = y/2, y = x2/2 x =

5. D: 0 y  8 , y/2 x

 Ответ. J = 

  Вычислить площадь D , если D : y = x , y = 0 , x = 1 . Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Пример.  Изменить порядок интегрирования J = 

Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной системы координат хОу к криволинейной системе координат uOv , где элементу площади dxdy будут соответствовать элемент площади |J| dudv. Якобиан J - коэффициент искажения плоскости. В полярной системе координат dxdy   r d dr.

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функ-ции. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
Математика Примеры решения задач