Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Производная сложной функции Интеграл Фурье Замена переменных в двойных интегралах Двойной интеграл Вычислить тройной интеграл

Математика Примеры решения задач

Пример. Вычислить тройной интеграл

J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z =, z = 0.

Решение.

y = x (степень 1, нет z)  плоскость через Oz (стенка)

 у = 0 (степени 1, нет х, z ) плоскость координатная zOх (стенка)

x = 1 (степень 1, нет y, z ) плоскость || yOz (стенка)

z =  или z2 = xy (степень 2) сечения x = const, y = const – параболы (верх)

  z = 0 (степени 1, нет y, x ) плоскость координатная xOy (низ)

J =(27 + 54y3) dx dy dz = (27 + 54y3) dxdydz , J1 = dz =  

D:  y = x, y = 0, x = 1

Точки пересечения линий 

 (0;0) , (1;0) , (1;1)

  Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оy, его ширина 0 x 1,

 а движение по коридору от у = 0 до y = x D:  0 x 1, 0 y  x

J = , J2 = = (7x2 + 6x4) ,

J =  (7x2 + 6x4) dx = [ 7x3/3 + 6x5/5 ] |01 = 106/35

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить тройной интеграл

1) J =   , где : y = 15x, y = 0, x = 1, z = xy, z = 0.

2) J =  , где : z = 10y, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

3) J =  , где : y = 2x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.

4) J =  , где : x = 0, y = 1, y = x, z = 0, z = 1 .

5) J =  , где : x + y + z = 1 , x ³ 0 , y ³ 0 , z ³ 0.

6) J =   , где : x = 0 , y = 0 , y = 2 , z = 2 , z = x2 .

7) J =  , где : y = 4 , z = 4 – x2 .

8) J =  , где : x + y + z = 2 , x + y – z = 0 , x = 0 , y = 0 .

Цилиндрические координаты - r, j, z .

Переход к ним : x = r cos j , y = r sin j , z = z  , удобен, когда область D образует круг или криволинейный сектор: r = r1(j ) , r = r2(j ) ,  . Тогда

f(x,y,z) dv =rdrdjf*(r,j,z) dz =  f*(r,j,z) dz ( 4 )

Здесь f*(r,j,z) = f(r cosj, r sinj, z) , z1* = z1(r cosj, r sinj) , z2* = z2(r cosj, r sinj) .

Пример 4. Вычислить тройной интеграл

 J = , где : z = x2 + y2 , z = 2 - x2 - y2 .

Решение.

z = x2 + y2 (степени 1,2) параболоид вращения (низ)

z = 2 - x2 - y2 (степени 1,2) параболоид вращения (верх)

 J =(y + x) dx dy dz = (y + x) dxdydz,  J1 =dz =

= 2(1 – x2 – y2), D: линия пересечения двух параболоидов вращения

 x2 + y2 = 1, z = 1; D: круг R=1, J = 2(y + x) (1 – x2 – y2) dxdy=

= {x = r cos j , y = r sin j} = 2  ,

J2 =   = (r3/3 – r5/5) |01 = 2/15, но J = 0, т.к.  = =0

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить тройной интеграл

1) J =   , где : z = 0 , z = 4 – x2 – y2 .

2) J = , где : z = 4 , z = x2 + y2

3) J =  , где : z = 0, z = 5, x2 + y2 = 4

4) J = , где : x2 + y2 = 4, z2 + y2 = 4, x ³ 0 , y ³ 0, z ³ 0 .

Сферические координаты - r, j, q .

Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2 £ R2 пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.

f(x,y,z) dv = f(r cosj sinq, r sinj sinq, r cosq) r2 sinq dr dj dq ( 5 )

Пример 5. Определить массу шара радиуса R с переменной плотностью   = r .

Решение.

M =  (x,y,z) dv =  = 2 2 R4/4 = R4

Практикум по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Практикум по теме «Криволинейный интеграл» Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Вычисление интегралов Кривая L задана параметрически : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . 

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функ-ции. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
Математика Примеры решения задач