Математика примеры решения задач Юридический адрес для регистрации Ооо Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Тройные интегралы примеры решений

Математика вычислить интеграл примеры решений

Двукратный (повторный) интеграл. Пусть - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от до получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b.

Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь плоской фигуры Если f (x,y) = 1 в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R. Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой
Рис.1 Рис.2
Объем тела Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен Для области R типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен Если в области R выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z1 = f (x,y) и z2 = g (x,y) с основанием R равен Площадь поверхности Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой при условии, что частные производные и непрерывны всюду в области R. Площадь и объем в полярных координатах Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Вычисление интегралов изменить порядок интегрирования Тогда площадь этой области определяется формулой
Рис.3
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида

вычисляют, используя следующие тригонометрические формулы:

Пример Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями .

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Вычислить объем единичного шара

Вычислить площадь сферы радиуса a.

Юридический адрес для регистрации Ооо Основные правила интегрирования
Закон Ампера Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C