Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Двойные интегралы примеры решений

Математика вычислить интеграл примеры решений

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам. Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры (в декартовых координатах) и (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному

Геометрические приложения поверхностных интегралов

С помощью поверхностных интегралов вычисляются

Площадь поверхности Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора то площадь поверхности будет равна где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность. Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy. Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью Предположим, что тело ограничено некоторой гладкой, замкнутой поверхностью S. Тогда объем тела определяется по формуле

С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена.

  Разложение функции cosx имеет вид:

Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:

 

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение.

 

Теперь представим наш интеграл в виде:

 

В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.

Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.

Вычислить объем эллипсоида .

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой окружность, заданную уравнением .

Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс

С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте

Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность

Найти площадь области R, ограниченной астроидой .

Определенный интеграл
Интегральное исчисление функций многих переменных. Понятие двойного интеграла Римана. Условия существования двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Основные свойства двойного интеграла. Отображения плоских областей. Переход к полярным координатам.