Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Двойные интегралы примеры решений

Математика вычислить интеграл методы интегрирования

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Определение первообразной и неопределенного интеграла Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение где С - произвольная постоянная. Свойства неопределенного интеграла В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины. Таблица интегралов В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0). Предел функции в точке

Пример Вычислить интеграл

Подынтегральная функция разлагается на сумму трех простейших дробей, множителю соответствует сумма двух дробей:

Найдем неопределенные коэффициенты

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений:

Решая систему, получим

Вернемся к интегралу

=

Случай 3. Среди корней знаменателя правильной рациональной дроби имеются комплексные корни, то есть разложение знаменателя содержит множители вида

Вычислить .

Вычислить .

Определенный интеграл
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.