Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Двойные интегралы примеры решений

Математика вычислить интеграл методы интегрирования

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример Вычислить интеграл . Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1). Двойные интегралы в произвольной области

Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть . Тогда Следовательно,

Пример Проинтегрировать .

Решение. В соответствии с формулой интегрирования по частям полагаем u = ln x, dv = dx. Тогда . Получаем

  Пример.

 

.

  Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на  и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

 

Итого =

=

Вычислить интеграл .

Вывести формулу редукции (понижения степени) для .

 

Определенный интеграл
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.