Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Работа от действия поперечной силы Основная система метода сил Построение эпюр внутренних усилий в заданной системе Вынужденные колебания

Строительная механика Курс лекций по сопромату

Основная система метода сил

Любой способ раскрытия статической неопределимости предполагает выбор для заданной системы основной системы. В методе сил основную систему выбирают из заданной, устраняя «лишние» связи. За «лишние» могут быть приняты как внешние, так и внутренние связи. Внешние связи являются опорными связями, а внутренними являются связи, препятствующие взаимному перемещению двух смежных сечений при мысленном рассечении стержня или удалении из него шарнира.

Для любой статически неопределимой системы существует несколько вариантов основной системы.

Рациональной основной системой является та­кая, для которой при её решении наиболее просто составляются уравнения статики.

Основная система метода сил должна быть желательно статически определимой и геометрически неизменяемой. Для того чтобы основная система оставалась эквивалентна заданной, вместо устранённых «лишних» связей вводят неизвестные усилия Х. На рис. 6.2 приведены два варианта основной системы. В качестве «лишних» связей выбраны внешние.

 


Наиболее простым представляется ІІ вариант основной системы.

На рис. 6.3 для заданной системы приведена основная система, где за «лишние» выбраны внутренние связи, полученные путём мысленного устранения внутреннего шарнира.

Основная система, принятая для расчёта и нагруженная внешней на­грузкой и усилиями Х, приложенными вместо устранён­ных связей, будет эквивалентна заданной в случае, если перемещения в этих системах равны ме­жду собой.

Если при расчёте удаляются внешние связи, то условием эк­вива­лентности будет равенство нулю перемещений по направ­лению устранённых связей. Если за «лишние» связи приняты внутренние, то условием эк­вива­лентности будет равенство нулю взаимных перемещений смежных поперечных сечений в месте разреза системы.

Для заданных систем, имеющих n лишних связей, условие эк­вива­лентности имеет вид

 ; …; ; … ;  (6.3)

где Δi - перемещения по направлению удаленных связей.

Используя принцип независимости действия сил, условие (6.3) за­пишем в виде

 =++…++…++…+=0, (6.4)

где   - перемещение по направлению -й удалённой связи, вызванной действием k-й неизвестной силы; - перемещение по на­прав-лению i- й удалённой связи от действия нагрузки.

 


Канонические уравнения метода сил

Любое перемещение, вызванное какой-либо силой, для ли­нейно дефомируемых систем можно выразить в виде произведения этой силы на перемещение от действия единичной силы:

 , (6.5)

где    искомое усилие;  - перемещение по направлению - й связи основной сис­темы от действия силы  = 1.

Для статически неопределимой системы с n «лишними» свя­зями система уравнений имеет вид

  (6.6) 

Система (6.6) называется системой канонических уравнений метода сил. В связи с тем, что заданная рассчитываемая статически неопределимая конструкция под действием внешних и внутренних сил находится в равновесии, каждое уравнение системы уравнений (6.6) отрицает наличие перемещений по направлению устранённых связей.

Коэффициенты с одинаковыми индексами называются глав­ными и могут быть только положительными.

Коэффициенты с разными индексами называются побоч­ными, они могут быть как положительными, так и отрицательными. Побочные коэффициенты обладают свойством взаим­ности, т.е. .

Коэффициенты  называются грузовыми и представляют собой пе­ремещения в основной системе в направлении i-й устранённой связи от заданной внешней нагрузки.

Метод замены связей

Используется при расчете сложных статически определимых систем, которые трудно рассчитать другими способами.

Сущность метода: сложная система превращается в более простую путем перестановки связи (или нескольких связей) в другое место; из условия эквивалентности заданной и заменяющей систем определяется усилие в переставленной связи; затем система рассчитывается известными способами.

Например, для расчета рамы (рис.3.5а) удалим правый вертикальный стержень заданной системы (ЗС) и введем одну связь в левый шарнир. Тогда шарнир станет припайкой С, а примыкающие к нему стержни будут жестко связаны. Обозначив усилие в удаленной связи через X, получим так называемую основную систему (ОС) для расчета рамы (рис. 3.5б).

Рис. 3.5

Условием эквивалентности ОС по отношению к ЗС будет условие равенства нулю момента в точке С: MC=0. По принципу суперпозиции этот момент равняется сумме моментов от силы X и внешней нагрузки:

MC=MC,X + MC,P =0.

Теперь рассмотрим два состояния ОС:

1)единичное состояние (ЕС), где прикладываются силы X=1 (рис. 3.5в);

2)грузовое состояние (ГС), где прикладывается нагрузка (рис. 3.5 г).

Тогда предыдущее уравнение примет вид

X + MC,P =0,

где =1×a=a – момент в точке С в единичном состоянии;

MC,P= – момент в точке С в грузовом состоянии.

Теперь неизвестное усилие легко вычисляется:

 .

 После этого можно перейти к расчету более простой системы (рис. 3.5д).

Понятие о статической неопределимости Статически неопределимыми называются такие стержневые системы, для оценки напряжённо-деформированного состояния которых недостаточно трёх уравнений статики. Для того чтобы осуществить оценку напряжённо-деформированного состояния таких систем, необходимо составить дополнительные уравнения.

Возможная работа внутренних сил Определим возможную работу внутренних сил N, M и Q одного состояния на перемещениях, вызванных внутренними силами другого состояния

Определение перемещений. Интеграл Мора

Правило П. Верещагина На практике часто встречаются случаи, когда на отдельных участках стержни имеют одинаковые физические и геометрические параметры, а одна из подынтегральных функций изменяется линейно.

Определение перемещений от действия температуры

Определение коэффициентов канонических уравнений Вычисление коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений метода сил и её грузовых членов, представ­ляющих единичные и грузовые перемещения, проводится с по­мощью известных методов определения перемещений, изложенных в предыдущем разделе.

 


На главную