Расчет многопролетных статически определимых балок Расчет распорных систем Работа от действия поперечной силы Основная система метода сил Построение эпюр внутренних усилий в заданной системе Вынужденные колебания

Строительная механика Курс лекций по сопромату

Построение эпюр внутренних усилий в заданной системе

Основная система, в которой определены значения всех «лишних» неизвестных, представляет собой статически определимую систему с действующими на неё заданной внешней нагрузкой и усилиями . Для пoстроения эпюр внутренних усилий M, N, Q составляются аналитические выра­жения этих внутренних усилий для характерных участков рассчитываемой конструкции.

Кроме того, для построения эпюр внутренних усилий может быть использован также приём, основанный на принципе независимости действия сил. На осно­вании этого принципа для заданной n раз статически неопределимой системы усилия опре­деляются в соответствии с выражением 

 . (6.13)

 По полученным ординатам (6.13) строят эпюру М в заданной системе. Достаточным условием правильности построения эпюры М является проведение деформационной проверки. Для проведения деформационной проверки из заданной рассчитываемой системы выбирают любую основную систему метода сил, в которой строят любую эпюру моментов  от действия неизвестной силы .

 Соблюдение условия  свидетельствует о правильности построения эпюры М. По­переч­ные силы в заданной системе определяются по известной из теории изгиба дифферен­циальной за­висимости

 tg, (6.14) 

где    угол между эпюрой  и осью стержня рамы;   балочное значение поперечной силы.

 Продольные силы  в заданной системе определяют путём вы­резания узлов на эпюре . Составляют уравнения равновесия для этих узлов, проецируя силы на оси стержней, из которых и находят искомые значения усилий N.

 По эпюрам , ,  определяют реактивные усилия в опо­рах рассчитываемой рамы и проводят две проверки правильности построе­ния итоговых эпюр внутренних усилий.

 Узловая проверка. Вырезая узлы на эпюре , составляют уравнения равновесия статики , равенство нулю которых свидетельствует о правильности построенной эпюры .

 Статическая проверка. Для осуществления статической проверки показывают заданную схему рамы с действующей на неё заданной внешней нагрузкой, найденными усилиями Хi и усилиями в опорных связях Q и N. Справедливость уравнений статики  и  свидетельствует о правильности построенных эпюр Q и N.

В данном «Курсе» представляем примеры расчёта статически неопределимых рам методом сил на действие температуры и осадки опор.

Расчёт статически неопределимых рам методом сил

 на темпера­турные воздействия

Воздействие на конструкцию температуры является одним из видов внешнего силового фактора. Поэтому система канонических уравнений в этом случае будет отличаться от уравнений (6.6) только свободными членами.

  (6.15)

В системе уравнений (6.15) коэффициенты при неизвестных (единичные перемещения) определяются так же, как при расчёте на действие статической нагрузки, тогда как свободный член  системы (6.15) представляет собой перемещение в основной системе рассчитываемой рамы по направлению устранённой i-й связи от действия температуры.

В результате решения системы уравнений (6.15) находят значения неизвестных усилий Хit. Тогда эпюра может быть построена в соответствии с выражением

.  (6.16)

 В основной системе рамы от действия температуры возникают только перемеще­ния, а внутренние усилия при этом равны нулю. В заданной системе рамы воз­никают как перемещения, так и внутренние усилия. Рассмотрим пример расчёта статически неопределимой рамы (рис. 6.4), в качестве внешней нагрузки на которую действует изменение температуры.

Исходные данные для расчёта: =10 м; α – коэффициент линейного температурного расширения;   темпера­тура наружных волокон рамы;  температура внутренних воло­кон;  > ; h = 0,125 высота поперечного сечения рамы (рис. 6.5).

Степень статической неопределимости заданной системы определится из выражения

  n = 3К  Ш = 3  2  4 = 2. (6.17)

Из (6.17) очевидно, что заданная система является дважды статически неопределимой.

 


Основная система рамы выбрана из заданной путём устранения из неё двух простых кинематических опорных связей. Для того чтобы основная система рамы была эквивалентна заданной, вместо устранённых связей поставлены искомые усилия Х1t и Х2t.

В связи с тем, что при определении перемещений от действия температуры учитывается влияние и изгибающих моментов M, и продольных сил N, единичные эпюры построены для этих силовых факторов. На рис. 6.7 и 6.8 представлены эпюры от действия соответственно Х1=1 и Х2 = 1.

Система канонических уравнений в данной задаче принимает вид выражения

  (6.18)

 

 

Рис. 6.8

 
 


Определим коэффициенты канонических уравнений:

  (6.19)

Свободные члены системы канонических уравнений (6.19) определим по формулам предыдущего раздела: 

 WW , (6.20)

где   - изменение температур; h  высота поперечного сечения элемента; ;  ; С; W площадь эпюры моментов  в основной системе; Wплощадь эпюры продольных сил  в основной системе.

 Знаки в (6.20) определяют, сравнивая деформации от тем­пературы и от единичного воздействия. Если кривизна от силы и температуры одного знака, то знак в слагаемом берётся плюс.

Если деформации от силы и от температуры одного знака, то второе слагаемое будет положительное.

  ;

.

Подставляя найденные значения перемещений (6.19) и (6.20) в систему уравнений (6.18), получают систему уравнений

  (6.21)

После решения любым известным в математике методом системы канонических уравнений (6.21) находят значения X1t и X2t усилий в «лишних» связях от действия температуры.

; .

 Умножая эпюру на Х1t, а эпюру   на Х2t и суммируя их, получим эпюру , от действия температуры (рис. 6.9).

 По эпюре , используя дифференциальную зависимость между Q и M, определяем

 


  tga1 = -1,8362EJa;

   = tga2 ;

 .

По полученным значениям строим итоговую эпюру поперечных сил в задан­ной системе (рис. 6.10). Для построения эпюры продольных сил Nt на эпюре Qt вырезаем узел С (рис. 6.11).

Составляем условия равновесия узла С:

 ; (6.22)

 . (6.23)

 Из (6.22) и (6.23) находим; .

По полученным значениям строим эпюру  (рис. 6.12).

МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИчески  определимых систем НА ПОСТОЯННУЮ НАГРУЗКУ (продолжение)

4. Расчет ферм

Ферма – это геометрически неизменяемая система, состоящая из прямых стержней, соединенных в узлах жестко или шарнирно (рис.4.1а). Замена жестких узлов шарнирами превращает их в шарнирную ферму (рис. 4.1б).

Рис. 4.1

Для статической определимости и геометрической неизменяемости шарнирных ферм должно выполняться условие

 .

При действии узловой нагрузки стержни фермы работают в основном на растяжение или сжатие, а моменты и поперечные силы в них отсутствуют. Поэтому в стержнях шарнирной фермы определяются только продольные усилия.

Положительное усилие Nij в стержне фермы между узлами i и j (рис. 4.2а) следует направить в сторону от шарниров (рис. 4.2б).

Рис. 4.2

При расчете простых ферм используются методы вырезания узлов, сквозных сечений, совместных сечений, замены стержней и др. Здесь рассмотрим только два метода.

Расчёт статически неопределимой рамы на осадку опор Опорные закрепления любой строительной конструкции могут перемещаться. Чаще всего это может проявляться при осадке фундаментов. От этих перемещений статически неопределимая система деформируется и в её элементах возникают внутренние усилия. Поэтому необходимо производить расчёт таких систем c учётом  перемещений их опорных связей.

Проверки правильности построенных эпюр

Уравнение трех моментов Неразрезной называется статически неопределимая балка, прикреплённая к земле более чем тремя простыми кинематическими связями.

Определение моментных фокусных отношений Рассмотрим некоторый участок неразрезной балки с загруженным только одним пролётом и с построенной для этого случая эпюрой моментов. Если каким-то образом изменить величину силы F загруженного пролёта, то соответственно изменятся и ординаты этой эпюры. Но форма эпюры никак не изменится, а в незагруженных пролётах останутся неизменными положения нулевых точек, которые называются фокусными точками. Точки, расположенные правее загруженного пролета, называются правыми, а левее - левыми фокусами.

Определение моментов на опорах загруженного пролёта При расчёте неразрезных балок, прежде чем воспользоваться моментными фокусными отношениями, необходимо найти значения моментов на опорах загруженных пролётов.

Линии влияния опорных моментов Как известно, расчёт любого сооружения на подвижную нагрузку предполагает построение линий влияния усилий. В связи с тем, что неразрезная балка является статически неопределимой системой, сна-чала нужно раскрыть эту статическую неопределимость, то есть построить линии влияния «лишних» неизвестных. В настоящем подразделе показано, что для неразрезной балки «лишними» неизвестными являются опорные моменты.


На главную