Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Расчет электрических цепей несинусоидального тока Переходные процессы в электрических цепях Операторный метод расчета переходных процессов Анализ переходных процессов в цепи R, L, C Четырехполюсники и фильтры Синтез электрических цепей

Элетротехнические расчеты Курсовой по электротехнике

Операторный метод расчета переходных процессов

Если система дифференциальных уравнений, которыми описывается переходной процесс в схеме, решается операционным методом, то и сам метод расчета переходного процесса также называется операционным или операторным.

Сущность операторного метода состоит в том, что на 1-ом этапе действительные функции времени i(t), u(t), называемые оригиналами, заменяются некоторыми новыми функциями I(p),U(p), называемыми операторными изображениями. Соответствие между оригиналом функции f(t) и ее операторным изображением F(p) устанавливается на основе прямого преобразования интеграла Лапласа:

  или ,

где Ûзнак соответствия; p=+j - комплексный оператор Лапласа.

Если s = , то p= j, и преобразование Лапласа превращается в преобразование Фурье, которое лежит в основе комплексного метода расчета цепей переменного тока.

Преобразование Лапласа позволяет заменить операции 2-го рода над оригиналами функций (дифференцирование и интегрирование) на операции 1-го рода (умножение и деление) над операторными изображениями этих функций.

Расчет переходных процессов операторным методом условно выполняется в 3 этапа.

На 1-м этапе расчета система дифференциальных уравнений, составленная по законам Кирхгофа для оригиналов функций, после применения преобразования Лапласа превращается в систему алгебраических уравнений для операторных изображений этих функций.

На 2-ом этапе выполняется решение системы алгебраических операторных уравнений относительно искомой функции, в результате чего получают выражение искомой функции в операторной форме F(p).

На заключительном 3-м этапе выполняется обратный переход от найденного операторного решения для искомой функции F(p) к соответствующей ей функции времени f(t), т. е. Выполняется переход от изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t).

Теоретически обратный переход от операторного изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t) устанавливается на основе обратного преобразования Лапласа:

.

На практике для обратного перехода используются более простые и удобные методы, а именно: формула разложения и таблицы соответствия.

Операторные изображения некоторых функций времени

 Найдем операторные изображения некоторых функций времени, которые встречаются в электротехнике.

Изображение постоянной функции f(t)=А:

.

2) Изображения экспоненциальных функций:

;

3) Изображения гармонических функций:

,

,

.

Изображения 1-ой и 2-ой производной от функции времени:

.

Изображение определенного интеграла от функции:

.

Для удобства пользования сведем полученные результаты в общую таблицу, которая называется таблицей соответствия.


Таблица соответствия

11. Законы электротехники в операторной форме

 Мгновенные значения тока i(t) и напряжения u(t) на идеальных элементах электрических схем связаны между собой дифференциальной формой уравнений: uR(t) = iR – для резистора;  - для катушки индуктивности;  - для конденсатора.

Применим к дифференциальным уравнениям преобразование Лапласа и получим соответствующее им операторные изображения:   - для резистора;  - для катушки индуктивности;  - для конденсатора.

 Таким образом, идеальным элементам R, L, C электрической схемы будут соответствовать новые схемные представления этих элементов в операторной схеме (см. табл.).

Здесь R, pL, 1/pC – операторные сопротивления соответственно резистора R, катушки L и конденсатора C. Операторное сопротивление Z(p) любого участка схемы можно получить из его комплексного сопротивления Z(jw), заменив в выражении множитель jw на оператор p.

Li(0), uC(0)/p – внутренние источники ЭДС, обусловленные запасами энергии в магнитном и электрическом полях в момент коммутации при t=0. Направления действия внутренних источников ЭДС принимаются по направлению тока i(0) для источника L i(0) и навстречу напряжению uC(0) для источника uC(0)/p.

Электричес-кая схема

Дифференциаль-ные уравнения

Операторные уравнения

Операторная схема

 u

 

 I(p) U(p)

 u

U(p)

 u

U(p)

C учетом полученных соотношений любую электрическую схему для оригиналов функций i(t), u(t) можно заменить соответствующей ей операторной схемой для изображений функций I(p) ,U(p). Например, электрической схеме рис. 134 соответствует операторная схема, представленная на рис. 135.

Для электрической схемы рис. 134 справедливо дифференциальное уравнение, составленное по 2-му закону Кирхгофа:

.


Для операторной схемы рис. 135 справедливо аналогичное уравнение, но в операторной форме:

, откуда следует:

,

где  – операторное сопротивление всей схемы,  - сумма всех источников ЭДС контура, в том числе и внутренних.

Для сложных операторных схем справедливы 1-й и 2-й законы Кирхгофа в операторной форме:

Для расчета таких схем можно применять любые методы расчета линейных цепей: метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Порядок составления операторных уравнений для сложных схем аналогичен методу, тому порядку, который применяется по этому методу для электрических схем.

Задача 5.15

Приемник энергии, сопротивления фаз которого одинаковы, потребляет мощность 5,46 кВт при cos jф = 0,8 (jф >0). Линейное напряжение на нагрузке равно 370 В. Чему равна фазная ЭДС генератора, соединенного звездой, внутреннее сопротивление каждой фазы которого Z0 = (0,3 + j0,9) Ом, а сопротивление каждого провода линии Zпр = (0,4 + j0,8) Ом?

Ответ: Еф = 230 В.

Задача 5.16

 К симметричному трех-фазному генератору с фазной ЭДС E = 230 В и с внутренним сопротив-лением Z0 = (0,3+j0,9) Ом подключена несимметрич-ная нагрузка, соединенная в звезду с нулевым проводом. Сопротивление фаз нагрузки: Za= (2+j4) Ом; Zb= (4-j8) Ом; ZC = 5 Ом. Сопротивление каждого провода линии  Zпр= (0,4+j0,8) Ом, а сопротивление нулевого провода ZN = 0,5 Ом.

Определить токи и напряжения на каждой фазе нагрузки и генератора при наличии нулевого провода и при его обрыве.

Ответ:

 при обрыве:

Задача 5.17

Линейные напряжения трехфазной сети: UAB = 120 В, UBC = 125 В. К этой сети подключена нагрузка, соединенная треугольником, сопротивление фаз которой  ZAB = 25 Ом, ZBC = 20 Ом, ZCA = 20 Ом. Найти линейные и фазные токи.

Ответ: IAB = 4,8 А, IBC = 5,5 А, ICA = 6,98 А, IA = 9,15 А, IB = 8,68 А, IC = 11,9 А.

Способы составления системы операторных уравнений При расчете переходных процессов операторным методом на практике применяется два способа составления системы операторных уравнений. Сущность 1-го способа состоит в том, что для исходной электрической схемы составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Затем каждое слагаемое в этих уравнениях непосредственно подвергается преобразованию Лапласа и таким образом система дифференциальных уравнений преобразуется в соответствующую ей систему операторных уравнений. Составление операторной схемы при этом не требуется.

Переход  от изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t). Формула разложения В результате  совместного решения системы операторных уравнений получают выражение для искомой  функции в операторной форме, т.е. ее операторное изображение F(p). Переход от операторного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к функции времени f(t),  является наиболее трудоемкой частью операторного метода расчета. На практике для  этой цели применяются два способа.

Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом

Анализ  переходных процессов в цепи R, L Исследуем, как изменяется ток  в цепи с резистором R и катушкой L в переходном режиме.  В качестве примера рассмотрим переходной процесс при включении цепи R, L к источнику а) постоянной ЭДС =const и б) переменной ЭДС 

  Анализ переходных процессов в цепи R, C Исследуем характер переходных процессов  в цепи R, C при включении ее к источнику а)постоянной ЭДС , б)переменной ЭДС  

Четырехполюсники. Четырехполюсник - это обобщенное понятие электрической цепи, рассматриваемой по отношению к четырем ее зажимам. Трансформатор, линию передачи энергии, мостовую схему и т. п. можно рассматривать как четырехполюсники. Четырехполюсники, содержащие источники электрической энергии, называются активными, не содержащие источники электрической энергии, - пассивными
Электрическое поле трехфазной линии электропередачи