Математика примеры решения задач Основы начертательной геометрии Физика курс лекций Примеры решения задач Электротехнические расчеты Maple Трехмерная графика
Расчет электрических цепей несинусоидального тока Переходные процессы в электрических цепях Операторный метод расчета переходных процессов Анализ переходных процессов в цепи R, L, C Четырехполюсники и фильтры Синтез электрических цепей

Элетротехнические расчеты Курсовой по электротехнике

Анализ переходных процессов в цепи R, L, C

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

  Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 145).

Общий вид решения для тока:  .

Переменное электромагнитное поле Основные уравнения Максвелла и их физический смысл Основы теории электромагнитного поля или электродинамики были впервые изложены в 1873 г. английским ученым Максвеллом в труде «Трактат об электричестве и магнетизме». Математические уравнения, описывающие физические процессы в переменном электромагнитном поле, называются уравнениями Максвелла

Установившаяся составляющая: .

Характеристическое уравнение и его корни: , откуда:

.

Дифференциальное уравнение:  .

Независимые начальные условия: .

Зависимое начальное условие: ; откуда .

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

  , откуда .

Окончательное решение для тока:

.

Исследуем вид функции  при различных значениях корней характеристического уравнения.

а)  Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу. Это имеет место при условии  или , тогда , , причем , .

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции  и  убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность . Из этого следует вывод, что искомая функция тока  в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени  своего максимального значения . Найдем этот момент времени:

, или , откуда .

Графическая диаграмма функции  для случая вещественных корней характеристического уравнения показана на рис. 146.

Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: .

Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.

б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные. Это имеет место при соотношении параметров  или , тогда

,

  где  - коэффициент затухания,  - угловая частота собственных колебаний.

Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

.

Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения искомая функция  изменяется во времени по гармоническому закону   с затухающей амплитудой . Графическая диаграмма функции  показана на рис. 147.


Период колебаний , продолжительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания:.

Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.

В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

  или ,

где коэффициенты  и  или  и  являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу. Это имеет место при условии  или , тогда .

Полученное ранее решение для искомой функции  в этом случае становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая , а , которая стремится к . Тогда получим:

.

Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжительность переходного процесса . При изменении только сопротивления резистора  затухающий характер переходного процесса соответствует области значений  , колебательный характер - также области значений , а критический характер – одной точке . Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

,

где коэффициенты  и  являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

Критический режим переходного процесса характерен тем, что его продолжительность имеет минимальное значение . Указанное свойство находит применение в электротехнике.

Задача 5.11

Подпись: а) 

Подпись: б)

Подпись: в)

Подпись: Рис. 5.11

 К симметричному трехфазному генератору (рис. 5.11 а) с фазной ЭДС  = 230 В и с внутренним сопротивлением (0,3+j0,9) Ом подключена несимметричная нагрузка, соединенная в звезду с нулевым проводом. Сопротивление фаз нагрузки (2+j4) Ом, (4 - j8) Ом,  5 Ом.

Сопротивление каждого провода линии (0,4+j0,3) Ом, а сопротивление нейтрального провода 5 Ом. Определить токи и направления на каждой фазе нагрузки и генераторе при наличии нейтрального провода и без него. Для каждого случая построить векторные диаграммы.

Решение

Запишем фазные э.д.с. генератора в комплексном виде:

  В,  В,

  В.

Комплексные проводимости фаз:

Ом-1,

  Ом-1,

 Ом-1.

Найдем напряжение между точками  и  по формуле

.

При наличии нейтрального провода:

Определим токи:

 А,

  А,

 А,

  А.

Проверка показывает, что

.

Напряжение на фазах нагрузки:

  

Напряжение на каждой фазе генератора:

В,

В,

В.

 

При обрыве нейтрального провода:

В.

Токи:

 А,

А,

А.

Напряжение на фазах нагрузки:

 

Напряжение на фазах генератора:

В,

В,

В.

Переходные функции по току и напряжению Пусть произвольная электрическая цепь с нулевыми начальными условиями   в момент времени включается под действием источника постоянной ЭДС  

Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля Метод интеграла Дюамеля применяется для расчета переходных процессов в электрических цепях в том случае, если в рассматриваемой цепи действует источник ЭДС  произвольной формы, отличной от стандартной (постоянной или синусоидальной)

Расчет переходных процессов методом численного интегрирования дифференциальных уравнений на ЭВМ Система дифференциальных уравнений, которыми описывается состояние любой электрической цепи, может быть решена методом численного интегрирования на ЭВМ (метод последовательных интервалов или метод Эйлера). Сущность метода состоит в том, что исследуемый промежуток времени Т (при расчете переходных процессов, это Тп - продолжительность переходного процесса) разбивается на большое число N элементарных отрезков времени , которые называются шагом интегрирования.

Расчет переходных процессов методом переменных состояния Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему дифференциальных уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена.

Пример. Для схемы с заданными параметрами элементов   выполнить расчет переходного процесса и определить функцию .

Четырехполюсники. Четырехполюсник - это обобщенное понятие электрической цепи, рассматриваемой по отношению к четырем ее зажимам. Трансформатор, линию передачи энергии, мостовую схему и т. п. можно рассматривать как четырехполюсники. Четырехполюсники, содержащие источники электрической энергии, называются активными, не содержащие источники электрической энергии, - пассивными
Электрическое поле трехфазной линии электропередачи